Cho \(a_1,a_2,a_3,...a_{2013}\)là số tự nhiên có tổng bằng \(2013^{2014}\)cmr\(a_1^3+a_2^3+...+a_{2013}^3⋮3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 12 2015
Ta có: \(\frac{a_1}{a_{2014}}=\frac{a_1.a_2.a_3....a_{2013}}{a_2.a_3.a_4....a_{2014}}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}...\frac{a_{2013}}{a_{2014}}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_1}{a_2}...\frac{a_1}{a_2}\) (2013 thừa số)
(do \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2013}}{a_{2014}}\))
=>\(\frac{a_1}{a_{2014}}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2013}\)
Mà \(\frac{a_1}{a_{2014}}=\left(-3\right)^{2013}\Rightarrow\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2013}=\left(-3\right)^{2013}\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=-3\)
Ta có: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2013}}{a_{2014}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2013}}{a_2+a_3+...+a_{2014}}\)(theo t/c dãy tỉ số bằng nhau)
Mà \(\frac{a_1}{a_2}=-3\Rightarrow S=-3\)
Đặt \(A=a_1^3+a^3_2+...+a^3_{2013}\)
vì \(2013⋮3\)nên \(2013^{2014}⋮3\)hay \(M=a_1+a_2+a_3+...+a_{2013}⋮3\)
Xét \(A-M=(a^3_1-a_1)+\left(a_2^{3_{ }}-a_2\right)+...+\left(a_{2013}^3-a_{2013}\right)\)
Dễ thấy \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
do đó \(a^3-1⋮3\)
\(\Rightarrow A-M⋮3\). Mà \(M⋮3\)\(\Rightarrow A⋮3\left(dpcm\right)\)