Question

[Park Chanyeol]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Chứng minh: 1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>=1/a+1/b+1/c

Answer 1

[Incursion_03]

Ta có : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{xy}\)( với x,y dương)

Thật vậy: \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall\)x,y

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(Vì a,b,c là 3 cạnh \(\Delta\)nên a+b-c > 0 và b+c-a > 0                                                                                                                                                                                                               bđt \(\Delta\))

Tương tự có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}\)

                       \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)

Cộng từng vế 3 bđt trên ta được:

2(\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)

CHÚC BẠN HỌC TỐT!

Answer 2

[Incursion_03]

Cái phần cuối mình up lên nhưng không được chắc là do giới hạn chữ

Phần cuối bạn làm như thế này nhé:

C/m tương tự:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)

                         \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)

Cộng từng vế của 3 bđt trên ta được \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

                                                        \(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)

CHÚC BẠN HỌC TỐT!