Cho ba số thực x,y,z thuộc đoạn \(\left[a;b\right]\) với 0 < a < b. Tìm GTLN của biểu thức: \(B=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
6 tháng 1 2020
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\) thì \(a,b,c\in\left[0;2\right]\) và
\(P=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)
Ta có \(P=ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b^3-a^3\right)+c^3\left(a-b\right)\\ =ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2-c^2\right)\le ab\left(a^2-b^2\right)\le2b\left(4-b^2\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le4b^2\left(4-b^2\right)^2\le2\left[\frac{2b^2+2\left(4-b^2\right)}{3}\right]^3=\frac{1024}{27}\Rightarrow P\le\frac{32\sqrt{3}}{9}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{32\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow a=2,b=\frac{2\sqrt{3}}{3},c=0\) hay \(x=4,y=\frac{4}{3},c=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 1 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số $x,y$ dương ta có \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{4xy}{(x+y)^2}\leq 1\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{4z}{x+y}+\frac{z^2}{(x+y)^2}+1\). Đến đây đặt \(\frac{z}{x+y}=t\). Vì \(x,y,z\in[1;2]\Rightarrow t\in[\frac{1}{4};1]\).
Khi đó \(P\leq t^2+4t+1\leq 1+4+1=6\)
Vậy $P_{max}=6$. Dấu $=$ xảy ra khi \(x=y=1;z=2\)
8 tháng 9 2020
Câu a đề hơi sai nha bạn, nên mình chỉ giải câu b thoi
Áp dụng AM-GM cho các bộ 3 số dương (x,y,z) và (1/x,1/y,1/z):
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow P\ge6\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}}=6\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)( thỏa x,y,z thuộc (0;1))
9 tháng 9 2020
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))