Question

[adfghjkl]

Cho (O;R) có hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I ( C thuộc cung nhỏ AB). Kẻ đường kính BE của (O). Chứng minh

a, AC=DE

b, IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2

c, AB^2+CD^2=8R^2−4OI^2

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta\)BAE: Có đường trung tuyến AO (O thuộc BE) với AO=BO=EO=1/2BE

=> \(\Delta\)BAE vuông tại A hay EA vuông góc AB

Mà AB và CD vuông góc với nhau => AE//CD => Tứ giác AECD là hình thang (1)

Lại có: 4 điểm A;E;C;D cùng nằm trên (O;R) => ) thuộc trung trực của AE và CD (2)

Từ (1) VÀ (2) => Hình thang AECD có trục đối xứng => Tứ giác AECD là hình thang cân

=> AC=DE (2 đg chéo) (đpcm).

b) Do AB vuông góc CD tại I 

Ta có: \(IA^2+IC^2=AC^2\)(Định lí Pytagorean)

\(IB^2+ID^2=BD^2\)(Định lí Pytagorean)

\(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=AC^2+BD^2\)

Vì \(AC=DE\)(cmt) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=DE^2+BD^2\)(3)

Chứng minh được \(\Delta\)BDE vuông tại D (Có trung truyến DO bằng 1/2 cạnh tương ứng BE)

\(\Rightarrow DE^2+BD^2=BE^2\)(4)

Thay (4) vào (3) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=BE^2\)(5)

R là bán kính của đường trond, BE là đường kính \(\Rightarrow BE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)(6)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2\) (đpcm).

c) Mình chưa nghĩ ra ^^ 

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta thấy BE là đường kính của (O). Suy ra ^BAE chắn nửa đường tròn hay AB vuông góc AE

Do đó AE // CD. Mà AE,CD là hai dây của đường tròn (O) nên (AC = (DE tức AC = DE (đpcm).

b) Tương tự câu a, \(\Delta\)BED vuông tại D. Áp dụng ĐL Pytagoras ta có:

\(\left(IA^2+IC^2\right)+\left(IB^2+ID^2\right)=AC^2+BD^2=DE^2+BD^2=BE^2=4R^2\)(đpcm).

c) Áp dụng ĐL Pytagoras và hệ thức lượng trong đường tròn ta có:

\(AB^2+CD^2=\left(IA+IB\right)^2+\left(IC+ID\right)^2=\left(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\right)+2\left(IA.IB+IC.ID\right)\)

\(=4R^2+4\left(R^2-OI^2\right)=8R^2-4OI^2\)(đpcm).