Question

[Trần Thanh Phương]

Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le3\sqrt[3]{3}\)

Bài 2: Cho \(a,b,c\in\left[-2;2\right]\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le3\sqrt{3}\)

Bài 3: Cho \(a,b,c>0\)

a) Có \(ab+bc+ac=3\). CMR: \(a^3+b^3+c^3\ge3\)

b) Có \(a^3+b^3+c^3=3\). CMR: \(a^5+b^5+c^5\ge3\)

c) Có \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3\). CMR: \(a^7+b^7+c^7\ge3\)

Bài 4: Cho \(a,b,c,m,n>0\). CMR:

\(a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\ge a^m\cdot b^n+b^m\cdot c^n+c^m\cdot a^n\)

Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\)

Tìm min\(A=4a^2+6b^2+3c^2\)

Bài 6: Cho \(a,b>0\)và \(a+b\le1\)

a) Tìm min\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

b) Tìm min\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\)

P/s: 2 bạn giúp mình với [Akai Haruma Nguyễn Việt Lâm]

Answer 1

[tthnew]

Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):

a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)

BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

Mà \(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)

Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)

Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.

Answer 2

[tthnew]

Bài ngắn làm trước:

Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)

\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)

\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)

Dấu "=" xảy ra khi ....

Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"