Cho a+b+c\(\ne\)0; abc\(\ne\)0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
CMR: trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau.
Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\) với n lẻ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 11 2019
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
VM
7 tháng 11 2019
Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)
Nếu \(a+b+c+d\ne0.\)
\(\Rightarrow c+d=d+a\)
\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)
Nếu \(a+b+c+d=0\) thì hợp với đề.
\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)
Chúc bạn học tốt!
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\); \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\)
Như vậy, \(\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\) (đpcm)
24 tháng 10 2021
a: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{c}{d}-1\)
hay \(\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\)
D
2
20 tháng 10 2023
Sửa đề: x+y+z=0
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=>\(\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
=>\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
=>\(\left(x+y+z\right)\left[x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right]=0\)
=>\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
=>\(\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)
=>\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]=0\)(1)
x<>y<>z
=>\(x-y< >0;y-z< >0;x-z< >0\)
=>\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ne0\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra x+y+z=0
20 tháng 10 2023
Để chứng minh C/M: a+b+c=0, ta sẽ sử dụng công thức Newton về tổng hệ số của đa thức. Theo công thức Newton, ta có: (x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) + 6xyz Áp dụng công thức này vào phương trình đã cho, ta có: 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) + 6xyz = 3xyz Simplifying the equation, we get: x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz = 0 Từ đây, ta có thể nhận thấy rằng: (x+y+z)(xy+yz+zx) = 0 Vì a, b, c là các số thực và a ≠ b ≠ c, nên ta có thể kết luận rằng: xy + yz + zx = 0 Do đó, ta có: (x+y+z)(xy+yz+zx) = (x+y+z)(0) = 0 Vì vậy, ta có C/M: a+b+c=0....
9 tháng 2 2020
Có \(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac+c^2\left(=25\right)\)
\(\Rightarrow a^2+ab+\frac{b^2}{3}=2c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac\\ \Rightarrow ab=2c^2+ac\\ \Rightarrow ab+ac=2c^2+2ac\\ \Rightarrow a\left(b+c\right)=2c\left(a+c\right)\\ \Rightarrow\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\)
20 tháng 6 2017
\(P=\frac{ab+c}{\left(a+b\right)^2}.\frac{bc+a}{\left(b+c\right)^2}.\frac{ca+b}{\left(c+a\right)^2}\)
\(=\frac{ab+c\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)^2}.\frac{bc+a\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}.\frac{ca+b\left(a+b+c\right)}{\left(c+a\right)^2}\)
\(=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)^2}.\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(b+c\right)^2}.\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{\left(c+a\right)^2}=1\)
LM
15 tháng 8 2016
Đặt\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}=k\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=k^{2013}\)(1)
Mặt khác:\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=k^{2013}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}=k^{2013}\)(2)
Từ (1);(2) ta có: \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(=k^{2013}\right)\)
15 tháng 8 2016
có \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)=>\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{\left(a-b\right)^{2013}}{\left(c-d\right)^{2013}}\)
ngược lại cũng có \(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
=> đpcm :V