Cho hình vuông ABCD M là điểm bất kì trên BC ,AM cắt CDởE; DM cắt BE ở F ,DM cắt AB ở G Cm BH × DE= AB ×DC=BC × AD
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 12 2021
Xét △AND và △AMB có:
∠NAD = ∠MAB (cùng phụ ∠DAM)
AD=AB (ABCD là hv)
∠ADN = ∠ABM (=90*)
△AND = △AMB (g.c.g)
=>AM=AN mà ∠MAN = 90*=>△AMN vuông cân tại A
Theo định lí Py-ta-go có:
AM2+AN2 = MN2 => 2AM2 = MN2 => \(\dfrac{AM^2}{MN^2}\)=\(\dfrac{1}{2}\) =>\(\dfrac{AM}{MN}\)=\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
DD
29 tháng 6 2023
a) Để chứng minh tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMB + góc AFB = 180 độ.
Góc AMB là góc giữa đường chéo BD và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường chéo BD cắt AE tại M, nên góc AMB chính là góc EAM.
Góc AFB là góc giữa đường thẳng EF và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường thẳng EF song song với cạnh AB, nên góc AFB bằng góc EAF.
Theo đề bài, góc EAF + 45 độ = 180 độ. Do đó, góc EAF = 180 - 45 = 135 độ.
Vậy, ta có góc AMB + góc AFB = góc EAM + góc EAF = 135 độ + 135 độ = 270 độ = 180 độ.
Vì tổng hai góc AMB và AFB bằng 180 độ, nên tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp.
b) Khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gọi O là giao điểm của đường chéo BD và đường thẳng EF. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên một đường tròn cố định khi E và F di động.
Vì góc EAF + 45 độ = 180 độ, nên góc EAF = 135 độ. Điều này có nghĩa là tam giác EAF là tam giác cân tại A.
Do đó, đường trung tuyến MN của tam giác EAF là đường cao và đường trung trực của cạnh EF. Vì M và N lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến MN với AE và AF, nên M và N là trung điểm của AE và AF.
Vì M và N là trung điểm của hai cạnh của hình vuông ABCD, nên OM và ON là đường trung trực của AB và AD. Do đó, O nằm trên đường trung trực của cạnh AB và AD.
Vì AB và AD là hai cạnh cố định của hình vuông ABCD, nên đường trung trực của AB và AD là đường thẳng cố định. Vậy, O nằm trên một đường tròn cố định.
Vì vậy, khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
6 tháng 9 2015
Đầu tiên ta chứng minh \(BN\perp CI.\) Thực vậy, theo định lý Ta-let (Thales) ta có
\(\frac{CN}{AB}=\frac{CM}{BM}=\frac{CD}{BI}\to\frac{CN}{BC}=\frac{BC}{BI}\to\Delta CBN\sim\Delta BIC\left(c.g.c\right)\to\angle CBN=\angle CIB\to\angle BKI=90^{\circ}.\)
Vậy \(BN\perp CI.\)
a) Vì \(MC=\frac{a}{3}\to BM=\frac{2a}{3}.\) Theo định lý Thales, ta có \(\frac{CN}{AB}=\frac{CM}{BM}\to\frac{CN}{a}=\frac{1}{2}\to CN=\frac{a}{2}.\)
Xét tam giác vuông \(BCN\) có \(BC=a,CN=\frac{a}{2},\) theo hệ thức liên hệ giữa độ dài cạnh và đường cao \(\frac{1}{CK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{CN^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{5}{a^2}\to CK=\frac{a}{\sqrt{5}}.\)
b) Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP=BM. Suy ra \(\Delta BAM=\Delta DAP\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Suy ra \(AP=AM.\) Xét tam giác vuông \(APN\) với đường cao AD, ta có \(\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\to\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi.
Mặt khác, theo định lý Thales, ta có
\(\frac{AB}{CN}=\frac{BM}{CM}=\frac{BC-CM}{CM}=\frac{BC}{CM}-1=\frac{AB}{CM}-1\to\frac{AB}{CM}-\frac{AB}{CN}=1\to\frac{1}{CM}-\frac{1}{CN}=\frac{1}{AB}\) không đổi. (ĐPCM)
31 tháng 12 2017
Có AMHN là hình vuông (gt)
=> A2=90 độ ( t/c) => NAD=90độ-DAM
Có ABCD là hình vuông (gt)
=> A1=90 độ (t/c)=> BAM=90độ-DAM
Suy ra góc NAD=BAM
Xét 2 tam giác AND và AMB
Có AN=AM ( vì AMHN là hình vuông )
AD=AB ( vì ABCD là hình vuông )
góc NAD=BAM ( chứng minh trên )
=> Tam giác AND=AMB (c.g.c) => Góc ADN=B mà B= 90 độ (t/c) hình vuông => ADN=B=90 độ)
Suy ra góc ADN+ADC = 90+90=180 => 2 góc kề bù
=> N.D.C thẳng hàng
MT
14 tháng 6 2015
a) Xét tam giác OEB và tam giác OMC có:
góc OBE = góc OCM (t/c đường chéo hv)
OC = OB ( nt)
EB = MC (gt)
Vậy tam giác OEB = tam giác OMC (c-g-c)
=> EO = MO (1) và góc EOB = góc MOC
mà góc BOC = góc BOM + góc MOC = 90 độ
=> góc EOM = góc EOB + góc BOM = 90 độ (2)
Từ (1),(2) => tam giác OEM vuông cân
b) Ta có: AB//CN (N thuộc DC)
ÁP dụng định lí Ta - let tá được:
AM/MN= BM/MC mà BM=AE và MC=BE (gt)
=> AM/MN = AE/BE
=> EM//BN (đ/l Ta - let đảo)
Phần còn lại mình còn đang suy nghĩ.
1 tháng 4 2023
Xét ΔBAN và ΔADE có
góc BAN=góc ADE
AB=AD
góc ABN=góc DAE
=>ΔBAN=ΔADE
=>AN=DE=AM
mà AB=CD
nên BM=CE
mà BM//CE
nên BMEC là hình bình hành
mà góc B=90 độ
nên BMEC là hình chữ nhật
Gọi O là giao của BE và CM
=>OB=OE=OC=OM
ΔBHE vuông tạiH có HO là trung tuyến
nên HO=OB=OE
=>HO=OC=OM
=>ΔMHC vuông tại H
=>góc MHC=90 độ
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
30 tháng 10 2017
a) Xét tam giác OEB và tam giác OMC có:
OB = OC (Vì ABCD là hình vuông)
EB = MC (gt)
\(\widehat{OCM}=\widehat{OBE}\left(=45^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OEB=\Delta OMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow OE=OM;\widehat{EOB}=\widehat{MOC}\)
Ta có \(\widehat{MOC}+\widehat{MOB}=\widehat{BOC}=90^o\Rightarrow\widehat{EOM}=\widehat{EOB}+\widehat{MOB}=90^o\)
Vậy tam giác OEM vuông cân.
b) Ta luôn có \(\Delta CMN\sim\Delta BMA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CM}{BM}=\frac{MN}{MA}\)
Lại có \(CM=BE\), mà AB = BC nên AE = MB
Vậy thì \(\frac{CM}{MC}=\frac{EB}{AE}\)
Xét tam giác ABN có \(\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MN}\) , áp dụng định lý Ta-let đảo, ta có EM // BN.
c) Giả sử OM cắt BN tại H'. Khi đó ta có \(\widehat{OME}=\widehat{MH'B}=45^o\)
Suy ra \(\Delta OMC\sim\Delta H'MB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MC}{BM}=\frac{OC}{H'B}\)
Xét tam giác OMB và tam giác CMH' có :
\(\frac{MC}{BM}=\frac{OC}{H'B}\left(cmt\right)\)
Góc \(\widehat{OMB}=\widehat{CMH'}\) (Hai góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OMB\sim\Delta CMH'\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{CH'M}=\widehat{OBM}=45^o\)
Vậy thì \(\widehat{BH'C}=\widehat{BH'M}+\widehat{MH'C}=45^o+45^o=90^o\)
Hay \(CH'\perp BN\)
Vậy H trùng H' hay O, M , H thẳng hàng.