Cho tam giác ABC vuông cân tại A ; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC ; N thuộc BC sao cho BN = 2CN. Gọi P,Q,R là các điểm tùy ý lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA,AB (ko trùng với các đỉnh của tam giác ABC)
a) Tính độ dài cạnh AM theo a
b) CMR: BN = 3NM
c) Tìm GTNN của tổng PR + PQ
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có:
(vì AB = AC)
Từ đây suy ra
.
Lại có M là trung điểm của AC nên
.
Gọi I là trung điểm của BC, G là giao điểm của AI và BM, suy ra G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra BM = 3GM (1).
Do ABC là tam giác vuông nên AI = IB = IC, do đó tam giác IAC là tam giác cân tại I, suy ra
(2)
Lại có AM = MC (3).
Từ (2), (3) và (4) suy ra
(c.g.c)
Suy ra GM = NM (5). Từ (1) và (5) suy ra BM = 3NM (đpcm).