cho tam giac ABC có góc BAC nhỏ hơn 90 độ đường cao AH . gọi E ; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB ; AC . đường thẳng EF cắt AB ; AC lần lượt tại M , N . chứng minh rằng : AE=AF , HA là tia phân giác của góc MHN , CM song song với EH ; BN song song với Fh
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.
Do E là trung điểm AB, M là trung điểm BC
\(\Rightarrow\) EM là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow EM||AC\)
\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{AME}\) (so le trong) (1)
Trong tam giác vuông AHB, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}AB=AE\) \(\Rightarrow\Delta AHE\) cân tại E
\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BAH}\) (2)
Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\) (giả thiết) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{AME}=\widehat{AHE}\)
\(\Rightarrow AMHE\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn AE)
\(\Rightarrow\) 4 điểm A, E, M, H cùng thuộc 1 đường tròn
b.
Theo cmt AMHE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{AHM}=90^0\) (cùng chắn AM)
\(\Rightarrow EM\perp AB\)
Mà \(EM||AC\)
\(\Rightarrow AB\perp AC\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Do \(\Delta BAE\)có \(AB=AE\Rightarrow\Delta BAE\)cân vuông tại A
Mà \(AM\)là đường phân giác của \(\Delta BAE\)(hay\(\Delta ABC\))
\(\Rightarrow AM\)đồng thời là đường cao của \(\Delta BAE\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AME}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{BAM}=\widehat{EAM}=\frac{\widehat{BAE}}{2}=45^0\left(1\right)\).Mà \(\Delta BAE\)vuông cân tại A\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{AEM}=\frac{180^0-\widehat{BAE}}{2}=45^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\Delta ABM\)vuông cân (đpcm)
2) Vì \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}=90^0\left(3\right)\)
Vì H là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow\widehat{AHC}=90^0\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=180^0-\widehat{AHC}=90^0\)(Hay \(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\))\(\left(4\right)\)
Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HAC}=90^0-\widehat{ACB}\)(Hay \(\widehat{ABH}=\widehat{IAE}\))
Xét \(\Delta ABH\)và\(\Delta EAI\)có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{EIA}=90^0\\AB=AE\\\widehat{ABH}=\widehat{EAI}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH=\Delta EAI\)(cạnh huyền góc nhọn)
\(\Rightarrow IE=AH\)(Đpcm)