Question

[Minh Nguyệt]

Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (-20; 20) để hàm số y = (x² + 2)\(\left|x^2-m\right|\) có đúng 5 điểm cực trị

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Lưu ý rằng \(x^2+2>0\) với mọi x, do đó \(x^2+2=\left|x^2+2\right|\):

\(y=\left(x^2+2\right)\left|x^2-m\right|=\left|\left(x^2+2\right)\left(x^2-m\right)\right|\)

Tới đây là 1 bài biện luận cực trị của hàm trị tuyệt đối trùng phương khá cơ bản:

\(g\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x^2-m\right)=x^4-\left(m-2\right)x^2-2m\)

\(g'\left(x\right)=4x^3-2\left(m-2\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=\dfrac{m-2}{2}\end{matrix}\right.\)

Do \(g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow x^2=m\) có tối đa 2 nghiệm

Đồng thời \(g'\left(x\right)=0\) có tối đa 3 nghiệm

\(\Rightarrow\) Hàm có 5 cực trị khi và chỉ khi \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb đồng thời \(g'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb và các nghiệm này ko trùng nhau

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-2}{2}>0\\m\ne\dfrac{m-2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>2\)

Answer 2

[Minh Nguyệt]

có đứa bạn mình làm theo hướng là đạo hàm ngay từ đầu, nếu làm cách đó thì có nhanh hay dễ tư duy hơn không???