Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ABCD là hình thoi
=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của góc ABC
Xét ΔADF và ΔABE có
AD=AB
\(\widehat{ADF}=\widehat{ABE}\)
DF=BE
Do đó: ΔADF=ΔABE
=>AF=AE và \(\widehat{AFD}=\widehat{AEB}\)
Xét ΔHFD và ΔGEB có
\(\widehat{HFD}=\widehat{GEB};\widehat{FDH}=\widehat{EBG}\left(=\widehat{ABD}\right)\)
DF=BE
Do đó: ΔHFD=ΔGEB
=>HF=GE và DH=BG
AH+HF=AF
AG+GE=AE
mà HF=GE và AF=AE
nên AH=AG
Xét ΔCDH và ΔABG có
CD=AB
\(\widehat{CDH}=\widehat{ABG}\)
DH=BG
Do đó: ΔCDH=ΔABG
=>CH=AG
Xét ΔADH và ΔCBG có
AD=CB
\(\widehat{ADH}=\widehat{CBG}\)
DH=BG
Do đó: ΔADH=ΔCBG
=>AH=CG
Xét tứ giác AGCH có
AG=CH
AH=CG
Do đó: AGCH là hình bình hành
mà AC vuông góc GH
nên AGCH là hình thoi
Xét ΔABE và ΔADF có
AB=AD
\(\hat{ABE}=\hat{ADF}\) (ABCD là hình thoi)
BE=DF
Do đó: ΔABE=ΔADF
=>AE=AF và \(\hat{BAE}=\hat{DAF}\)
Xét ΔABG và ΔADH có
\(\hat{ABG}=\hat{ADH}\) (ΔABD cân tại A)
AB=AD
\(\hat{BAG}=\hat{DAH}\)
Do đó: ΔABG=ΔADH
=>AG=AH
Ta có:ABCD là hình thoi
=>BD là đường trung trực của AC
=>G,H đều nằm trên đường trung trực của AC
=>GA=GC; HA=HC
mà AG=AH
nên AG=GC=CH=HA
=>AGCH là hình thoi
a: BG+GC=BC
DH+HA=DA
mà BC=DA và BG=DH
nên CG=AH
Xét tứ giác AHCG có
AH//CG
AH=CG
Do đó: AHCG là hình bình hành
b: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
AHCG là hình bình hành
=>AC cắt HG tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của GH
=>G,O,H thẳng hàng
c: Xét ΔOAE và ΔOCF có
\(\hat{OAE}=\hat{OCF}\) (hai góc so le trong, AE//CF)
OA=OC
\(\hat{AOE}=\hat{COF}\) (hai góc đối đỉnh)
DO đó: ΔOAE=ΔOCF
=>OE=OF
=>O là trung điểm của EF
Xét tứ giác EGFH có
O là trung điểm chung của EF và GH
=>EGFH là hình bình hành
a) Ta có: DF=FE=CE(gt)
mà DF+FE+CE=DC
nên \(DF=FE=CE=\dfrac{DC}{3}\)
Xét tứ giác ABFD có
AB//FD(gt)
AB=FD
Do đó: ABFD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét tứ giác ABEF có
AB//EF(gt)
AB=EF(cmt)
Do đó: ABEF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra: AF=BE(Hai cạnh đối)
c) Xét tứ giác ABCE có
AB//CE
AB=CE
Do đó: ABCE là hình bình hành
Suy ra: AE=BC
Sửa đề: AE=EF=FC. chứng minh BEDF là hình bình hành và DF=2FI
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Ta có: AE=EF=FC
mà \(AE+EF+FC=AC\)
nên \(AE=EF=FC=\frac{AC}{3}\)
AE+EO=AO
CF+FO=CO
mà AE=CF và AO=CO
nên OE=OF
=>O là trung điểm của EF
Xét tứ giác BEDF có
O là trung điểm chung của BD và EF
=>BEDF là hình bình hành
\(CF=\frac13CA\)
\(CO=\frac12CA\)
Do đó: \(CF=\frac23CO\)
Xét ΔCDB có
CO là đường trung tuyến
\(CF=\frac23CO\)
Do đó: F là trọng tâm của ΔCDB
Xét ΔCDB có
F là trọng tâm
DF cắt BC tại I
Do đó: I là trung điểm của BC
Xét ΔDBC có
F là trọng tâm
DI là đường trung tuyến
Do đó: DF=2FI
a: Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình thoi
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)
\(CN=DN=\frac{CD}{2}\)
mà AB=CD
nên AM=MB=CN=DN
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>AN//CM và AN=CM(2)
Xét ΔBAC có
BO,CM là các đường trung tuyến
CM cắt BO tại K
Do đó: K là trọng tâm của ΔABC
=>\(CK=\frac23CM\) (1)
Xét ΔACD có
AN,DO là các đường trung tuyến
AN cắt DO tại H
Do đó: H là trọng tâm của ΔACD
=>\(AH=\frac23AN\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra CK=AH
Xét tứ giác AHCK có
AH//CK
AH=CK
Do đó: AHCK là hình bình hành
b: AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN
=>AC,BD,MN đồng quy tại O
a) Chứng minh tứ giác \(A K H C\) là hình thoi
- Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\). Trong hình thoi, \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\), đồng thời \(A C \bot B D\).
- Xét tam giác \(A B C\), có \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(O\) là trung điểm của \(A C\). Suy ra:
\(O M \parallel B C \left(\right. đườ n g t r u n g b \overset{ˋ}{\imath} n h \left.\right) .\)
- Xét tam giác \(A C D\), có \(N\) là trung điểm của \(C D\), \(O\) là trung điểm của \(A C\). Suy ra:
\(O N \parallel A D .\)
- Mà \(A D \parallel B C\) (tính chất hình thoi), do đó:
\(O M \parallel O N .\)
Suy ra \(M N \parallel A C\).
- Xét tứ giác \(A K H C\):
- \(A , C\) nằm trên đường chéo \(A C\).
- \(H , K\) nằm trên đường chéo \(B D\).
- Ta có \(A C \bot B D\).
⇒ Hai đường chéo của tứ giác \(A K H C\) vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm (chính là \(O\)).
Do đó \(A K H C\) là hình thoi.
b) Chứng minh \(A C , B D , M N\) đồng quy
- Từ trên, ta đã có \(M N \parallel A C\).
- \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).
- Vì \(M N \parallel A C\), nên đường thẳng \(M N\) cắt \(B D\) tại đúng một điểm, gọi là \(P\).
- Dễ thấy \(P\) chính là giao điểm chung của \(B D\) và \(M N\). Do \(M N \parallel A C\), nên ba đường thẳng \(A C , B D , M N\) cùng đi qua một điểm:
\(A C \cap B D = O , M N \cap B D = P , m \overset{ˋ}{a} O \in M N .\)
⇒ \(A C , B D , M N\) đồng quy tại \(O\).
Kết luận:
a) Tứ giác \(A K H C\) là hình thoi.
b) Ba đường thẳng \(A C , B D , M N\) đồng quy tại giao điểm \(O\).
Tham Khảo bạn nhé
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
từ(1),(2) suy ra AG=GC=CH=HA
nên tứ giác AGCH là hình thoi
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC
Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)
Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.
ABCD là hình thoi
=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của góc ABC
Xét ΔADF và ΔABE có
AD=AB
���^=���^ADF=ABE
DF=BE
Do đó: ΔADF=ΔABE
=>AF=AE và ���^=���^AFD=AEB
Xét ΔHFD và ΔGEB có
���^=���^;���^=���^(=���^)HFD=GEB;FDH=EBG(=ABD)
DF=BE
Do đó: ΔHFD=ΔGEB
=>HF=GE và DH=BG
AH+HF=AF
AG+GE=AE
mà HF=GE và AF=AE
nên AH=AG
Xét ΔCDH và ΔABG có
CD=AB
���^=���^CDH=ABG
DH=BG
Do đó: ΔCDH=ΔABG
=>CH=AG
Xét ΔADH và ΔCBG có
AD=CB
���^=���^ADH=CBG
DH=BG
Do đó: ΔADH=ΔCBG
=>AH=CG
Xét tứ giác AGCH có
AG=CH
AH=CG
Do đó: AGCH là hình bình hành
mà AC vuông góc GH
nên AGCH là hình thoi
Ksbdi f93y47zu<^@: d$_u #>#
Bước 1. Xét các tam giác
Vì \(A B C D\) là hình thoi nên:
Từ \(B E = D F\) và \(B C = C D\) suy ra:
\(C E = C F\)
Xét hai tam giác \(\triangle A E C\) và \(\triangle A F C\):
⟹ \(\triangle A E C = \triangle A F C\) (c.g.c)
Bước 2. Suy ra các đoạn song song
Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra:
Xét tứ giác \(A G C H\):
⟹ AGCH là hình bình hành.
Bước 3. Kết luận hình thoi
Trong hình bình hành \(A G C H\) có:
\(A G = A H\)
⟹ AGCH là hình thoi.
E
huy
Vi abcd là hình thoi nên agch là hình thoi
AGCH là hình thoi
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:
AB = AD,
ˆ
B
=
ˆ
D
; BE = DF
Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)
Suy ra
ˆ
A
1
=
ˆ
A
4
(hai góc tương ứng).
Mà AC là phân giác của
ˆ
A
=>
ˆ
A
2
=
ˆ
A
3
(1)
Do đó AO là phân giác của
ˆ
H
A
G
Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.
Suy ra HO = OG (2)
Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.
Vì ABCD là hình thoi
nên AB = AD, ∠ABE = ∠ADF (do đường chéo BD là phân giác góc B và góc D ).
Ta có BE = DF( gt)
Do đó:ΔABE = ΔADF (c.g.c) → AE = AF, ∠BAE = ∠DAF.
giác ABG bằng tam giác ADH Vì ABCD là hình thoi nên
AB = AD, ∠ABG = .
Từ ∠BAE = ∠DAF (từ Bước 1) ta có ∠BAG = ∠DAH. Do đó: ΔABG = ΔADH (g.c.g) → AG = AH, BG = DH. AGCH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm Do ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, tức là OA = OC, OB = OD. Ta có BG = DH (từ Bước 2), mà OB = OD nên OB - BG = OD - DH → OG = OH. Vậy đường chéo AC của tứ giác AGCH cắt đường chéo GH tại trung điểm O, và OA = OC, OG = OH. Tứ giác AGCH có hai đường chéo AC và GH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Đồng thời, vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD, do đó AC ⊥ GH. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. > AGCH là hình thoi.