Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Ta có: \(y\left(x^2-y^2\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
\(=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
=0
b: Ta có: \(\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)\left(4x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\dfrac{1}{27}\right)\)
\(=8x^3+\dfrac{1}{27}-8x^3+\dfrac{1}{27}\)
\(=\dfrac{2}{27}\)
c: Ta có: \(\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3x\left(1-x\right)\)
\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3+1-3x+3x^2\)
=0
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`
`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`
Dấu "=' `<=>a=b=1/2`
ta có:
(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²
⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²
⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)
⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)
dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0
⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0
⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0
⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0
⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0
⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0
⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)
=> đpcm
bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề
\(x+y=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
--> \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)