Cứ áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông là ra ah

8 đúng 100%

\(g\left(x\right)=x^2+x-2=x^2+2x-x-2\)

=> \(g\left(x\right)=x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Gọi thương của pháp chia là Q(x)

=> \(f\left(x\right)=g\left(x\right).Q\left(x\right)\)

=> \(x^3-2x^2-5x+10+2a=\left(x+2\right)\left(x-1\right).Q\left(x\right)\)

- Thay x = -2

=> \(\left(-2\right)^3-2.\left(-2\right)^2-5.\left(-2\right)+10+2a=\left(-2+2\right)\left(-2-1\right).Q\left(x\right)\)

=> \(4+2a=0\)

=> \(2a=-4\)

=> \(a=-2\)

- Thay x = 1

=> \(1^3-2.1^2-5.2+10+2a=\left(1+2\right)\left(1-1\right).Q\left(x\right)\)

=> \(1+2a=0\)

=> \(2a=-1\)

=> \(a=-0,5\)

KL: \(a\in\left\{-2;-0,5\right\}\)

Lời giải chưa hay đâu bạn Trần Thị Kim Ngân.

Để ý một chút sẽ thấy \(A\) là một đa thức bậc 2 theo biến \(x\), nên ta gọi là \(A\left(x\right)\) cho đúng kiểu đa thức.

\(A\left(a\right)=1\) (nghĩa là thay \(x\) bằng \(a\) được kết quả là \(1\)).

Tương tự \(A\left(b\right)=A\left(c\right)=1\).

-----

Hừm, từ chỗ này về sau không biết bạn hiểu không.

Gọi \(f\left(x\right)=A\left(x\right)-1\) vẫn là một đa thức bậc 2, và \(f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(c\right)=0\) tức là \(f\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x=1,x=b,x=c\).

Tuy nhiên, một đa thức bậc 2 thì chỉ có tối đa 2 nghiệm thôi, nếu nhiều hơn thì đa thức đó luôn bằng 0, nghĩa là \(f\left(x\right)=0\) với mọi \(x\).

Vậy \(A=1\).

Ta có:

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(c-b\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\left(a-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(c-b\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\left(a-c\right)-\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left[\left(c-b\right)+\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(c-b\right)\left(x-c-x+a\right)+\left(x-a\right)\left(a-c\right)\left(x-c-x-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)+\left(x-a\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left(x-b-x+a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

Xét\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}\)

=> \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Chứng minh tương tự

=> \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)

=> \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(Đpcm)

Dấu "=" xảy ra<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\end{cases}}\)<=> a = b = c

Dài thế. Áp dụng cosi swat là được mà

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

chia vế trái cho ab ta được :

\(\frac{VT}{ab}=\frac{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}{ab}\)        

         \(=\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\)

   Áp dụng BĐT cauchy cho hai số không âm

\(a=\left(a+1\right)-1\ge2\sqrt{a-1}\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)

\(b=\left(b+1\right)-1\ge2\sqrt{b-1}\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}\)   

Cộng theo vế ta được \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

                         \(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)

Với a = 5, b = 2 thì

VT = 5.1 + 2.2 = 9 < 2.5 = 10

Vậy đề sai

90 đó

100% lun

90 nha bạn

Đúng 100% luôn

Chúc các bạn học giỏi