Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Đề \(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{a}\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}=-\sqrt[3]{b}\text{ hoặc }\sqrt[3]{b}=-\sqrt[3]{c}\text{ hoặc }\sqrt[3]{c}=-\sqrt[3]{a}\)

\(\Leftrightarrow a=-b\text{ hoặc }b=-c\text{ hoặc }c=-a\)

Không mất tính tổng quát; giả sử \(b=-c\)

Khi đó: \(\sqrt[2015]{a}+\sqrt[2015]{b}+\sqrt[2015]{c}=\sqrt[2015]{a}+\sqrt[2015]{b}+\sqrt[2015]{-b}=\sqrt[2015]{a}\)

\(\sqrt[2015]{a+b+c}=\sqrt[2015]{a+b-b}=\sqrt[2015]{a}\)

\(\Rightarrow\sqrt[2015]{a}+\sqrt[2015]{b}+\sqrt[2015]{c}=\sqrt[2015]{a+b+c}\)

(Làm tắt tẹo nhé!) 

Áp dụng Côsi:

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{a^2+b^2}{c^2+\frac{a^2+b^2}{2}}=2.\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2c^2}+1\right)-2=4.\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+2c^2}-2\)

Tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng theo vế ta được:

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+...\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{1}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{1}{c^2+a^2+2b^2}\right)-6\)

\(\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right).\frac{9}{a^2+b^2+2c^2+b^2+c^2+2a^2+c^2+a^2+2b^2}-6=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

\(\Rightarrow VT\ge3>\frac{9}{2}\).

sai đề

hahaha bọn mày ơi 

vào trang chủ của : Edward Newgate đê 

hắn bảo ta trẻ trâu chẳng lẽ hắn lớn trâu chắc :))

Chứng minh bằng biến đổi tương đương đơn giản

Cần chứng minh: \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\text{ (*)}\)

\(\text{(*) }\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^4-2\sqrt{2}x^3+2\sqrt{2}x+1}{x^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4-2\sqrt{2}x^3+2\sqrt{2}x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2\left(x-\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2\ge0\)

Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng.

Do đó: \(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Rightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2\ge8\text{ (do }x>y\text{)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\text{ hoặc }x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

Ta có điều phải chứng minh.

TA tìm GTNN của \(\sqrt{x^2-6x+14}=\sqrt{x^2-6x+9+5}=\sqrt{\left(x+3\right)^2+5}\)

=> GTNN của \(\sqrt{x^2-6x+14}\) là  \(\sqrt{5}\)

=> GTLN của P là  5 - \(\sqrt{5}\) khi x + 3 = 0 => x= - 3

\(2+\sqrt{3}=3,7320...\)

\(3+\sqrt{2}=4,4142...\)

Do đó \(2+\sqrt{3}