em  tự vẽ hình nha

Gọi O là trung điểm của AM

Vì tam giác AHM vuông tại H có O là trung điểm cạnh huyền AM

=> OH=OA=OM  (1) 

CMTT: OA=OM=OE  (2)

Vì \(\hept{\begin{cases}MD\perp AB\\ME\perp AC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{MDA}=90^0\\\widehat{MEA}=90^0\end{cases}}\)

Xét tứ giác ADME có:

góc A= góc MDA = góc MEA = 90 độ

=> ADME là hình chữ nhật ( dhnb )

=> 2 đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và DE=AM

Mà O là trung điểm AM

=> O là trung điểm DE

=> OD=OE (3)

Từ (1), (2) và (3) => OD=OE=OA=OM=OH

=> A,D,H,M,F cùng nằm trên 1 đường tròn

do tam giác vuông cân nội tiếp đường tròn => đường kính = độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân

bình phương cạnh huyền = tổng bình phương 2 cạnh góc vuông

=> bình phương cạnh huyền = 18

=> độ dài cạnh huyền = đường kính = \(3\sqrt{2}\)

=> bán kính = \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Đặt \(\sqrt[3]{a-b}=x,\sqrt[3]{b-c}=y,\sqrt[3]{c-a}=z\)

suy ra \(x^3+y^3+z^3=0\)

Ta có hằng đẳng thức: 

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

mà \(x+y+z=0\)

suy ra \(-3xyz=0\)

Khi đó \(x=0\)hoặc \(y=0\)hoặc \(z=0\)

suy ra \(a=b\)hoặc \(b=c\)hoặc \(c=a\).

Với mỗi trường hợp ta đều suy ra \(a=b=c\).

Sửa lại giúp mình là BC=12cm