2¹⁹⁷⁵=2¹⁹⁷⁴.2=(2²)⁹⁸⁷.2=4⁹⁸⁷.2

4 đồng dư với 1(mod 3)

=>4⁹⁸⁷ đồng dư với 1(mod 3)

2 đồng dư với 2(mod 3)

=>2¹⁹⁸⁵ đồng dư với 2.1=2(mod 3)

5 đồng dư với 2(mod 3)

=>5²⁰¹⁰ đồng dư với 2²⁰¹⁰(mod 3)

2²⁰¹⁰=(2²)¹⁰⁰⁵=4¹⁰⁰⁵

4 đồng dư với 1(mod 3)

=>4²⁰¹⁰ đồng dư với 1(mod 3)

=>5²⁰¹⁰ đồng dư với 1(mod 3)

=>2¹⁹⁷⁵ + 5²⁰¹⁰ đồng dư với 3(mod 3)

=>2¹⁹⁷⁵ + 5²⁰¹⁰ chia hết cho 3

=>đpcm

\(\text{Đề }\Rightarrow\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^3+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x^2+3\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=-x+\sqrt{x^2+3}\)

Làm tương tự, ta được: \(x+\sqrt{x^2+3}=-y+\sqrt{y^2+3}\)

Cộng theo vế 2 pt trên, ta được \(x+y=-x-y\Leftrightarrow x+y=0\)

ổng đi Singapore r , bn qua đó chửi đi

3. ĐK: \(x^2-2x-1\ge0\Leftrightarrow x\le1-\sqrt{2}\text{ hoặc }x\ge1+\sqrt{2}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)+2\sqrt{x^2-2x-1}=0\)

Ta sẽ chứng minh phương trình này có \(VT\ge VP\)

\(VT\ge\frac{x^3-14-\left(x-2\right)^3}{A^2+AB+B^2}+0\text{ }\left(A=\sqrt[3]{x^3-14};\text{ }B=x-2\right)\)

\(=\frac{6\left(x^2-2x-1\right)}{\left(A+\frac{B}{2}\right)^2+\frac{3B^2}{4}}\ge0=VP\text{ }\left(do\text{ }x^2-2x-1\ge0\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\text{ hoặc }x=1-\sqrt{2}\)

\(\text{Kết luận: }x\in\left\{1+\sqrt{2};\text{ }1-\sqrt{2}\right\}\)

ĐK: \(x^3+3x^2+3x+2=\left(x+1\right)^3+1\ge0\)\(\Leftrightarrow x+1\ge-1\Leftrightarrow x\ge-2\)

\(pt\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)^2=25\left(x^3+3x^2+3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4-9x^3-35x^2-27x-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-7\right)\left(4x^2+3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-7=0\text{ hoặc }4x^2+3x+2=0\text{ (vô nghiệm)}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\text{ hoặc }x=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\)

\(\text{Kết luận: }x\in\left\{\frac{3+\sqrt{37}}{2};\text{ }\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right\}\)

ĐẦU TIÊN TA BÌNH PHƯƠNG HAI PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO.

Ta có : (a³  - 3ab²)² = a⁶ - 6a⁴b² + 9a²b⁴ .

               (b³ - 3a²b)² = b⁶ - 6a²b⁴ + 9a⁴b² .

Ta lại có : (a³ - 3ab²)² + (b³ - 3a²b)² = a⁶ + 3a⁴b²  + 3a²b⁴ + b⁶  .

             <=> 233² + 2010² = (a² + b²)³ .

          <=> a² + b² = \(\sqrt[3]{233^2+2010^2}\).