BÀI4:Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD,BE,CF.
Chứng minh:
a,\(\frac{DB}{CD}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)
b,\(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA}+\frac{1}{AB}\)
(chỉ cần giải câu b thôi)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt: \(n^2+4n+2017=m^2\)(*)
(*) \(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2+2013=m^2\Leftrightarrow\left(m-n-2\right)\left(m+n+2\right)=2013\)=3.11.61
do n<20 nên \(\hept{\begin{cases}m-n-2=33\\m+n+2=61\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=47\\n=12\end{cases}}}\)là nghiệm duy nhất thỏa mãn
tổng nghiệm bằng 0 nhé, vì \(x^2=a\left(a>0\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{a}\\x=-\sqrt{a}\end{cases}}\)
do đó nghiệm đối nhau từng cặp, nên tổng bằng 0
Ta có: \(P=-2x^2-y^2+5x+2y-4=-2\left(x^2-10x+25\right)-\left(y^2-2y+1\right)+47\)
\(=47-2\left(x-5\right)^2-\left(y-1\right)^2\le47\)
dấu bằng xảy ra <=> x=5, y=1
\(5x^2-23=0\)
\(\Rightarrow5x^2=23\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{23}{5}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{4,6}=2,144....\)
Cách 1:
Sau khi phân tích hoàn toàn ra , ta cần CM
\(Σ\left(a^4b+a^4c+3a^3b^2+3a^3c^2-8a^2b^2c\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Muirhead
Cách 2: Giải theo SOS, ta cần CM
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6abc}\geΣ\frac{1}{a+b}\) tức là \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3abc}\ge2Σ\frac{a+b+c}{a+b}\)
tức là \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3abc}\ge6+Σ\frac{2c}{a+b}\) tức là \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3abc}-9\geΣ\frac{2c}{a+b}-3\)
tức là \(\frac{\left(a+b+c\right)^3-27abc}{3abc}\geΣ\frac{2c-a-b}{a+b}\)
tức là \(\frac{Σ\left(a^3+3a^2b+3a^2c-7abc\right)}{3abc}\geΣ\frac{c-a-\left(b-c\right)}{a+b}\)
tức là \(\frac{Σ\left(a^3-abc\right)+3Σ\left(a^2b+a^2c-2abc\right)}{3abc}\geΣ\frac{c-a-\left(b-c\right)}{a+b}\)
tức là \(\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)Σ\left(a-b\right)^2+3Σc\left(a-b\right)^2}{3abc}\geΣ\left(a-b\right)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)\)
tức là \(Σ\left(a-b\right)^2\left(\frac{a+b+7c}{6abc}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT AM-GM (giải theo SOS xấu v~)
\(\left(a+b+7c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)-6abc>\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)-6abc\ge8abc-6abc>0\)