Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right),\) từ phương trình tương đương với \(\sqrt[3]{3x+1},\sqrt[3]{5-x},\sqrt[3]{2x-9}\) có hai số tổng bằng 0. Từ đây

\(\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}=0\Leftrightarrow3x+1=x-5\Leftrightarrow x=-3.\)
\(\sqrt[3]{2x-9}+\sqrt[3]{5-x}=0\Leftrightarrow2x-9=x-5\Leftrightarrow x=4.\)
\(\sqrt[3]{2x-9}+\sqrt[3]{3x+1}=0\Leftrightarrow2x-9=-3x-1\Leftrightarrow x=\frac{8}{5}.\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}},b=\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}\to a^3-b^3=6,ab=\sqrt[3]{\frac{125}{27}}=\frac{5}{3}.\)

Từ đây với \(S=a-b\to S^3=a^3-3ab\left(a-b\right)-b^3=6-5S\to S^3+5S-6=0\)

Suy ra \(\left(S-1\right)\left(S^2+S+6\right)=0\to S=1\to S\) là số nguyên.

1.  Vì \(C,D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\to BD\perp FA,AC\perp BF\to H\) là trực tâm tam giác \(ABF\to FH\perp AB.\)

2. Do tam giác \(ABF\)  có \(BD\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, suy ra \(\Delta ABF\) cân ở \(B.\) Suy ra \(D\) là trung điểm \(FA.\)  Vì \(FH\parallel AE\to\frac{DH}{DE}=\frac{DF}{DA}=1\to AEFH\) là hình bình hành. Do hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc với nhau nên \(AEFH\) là hình thoi. 

3.  Vì \(\angle ABC=60^{\circ}\to\Delta ABF\) là tam giác đều, suy ra  \(AF=AB=2R\). Mặt khác, \(BD=AB\cdot\cos30^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.\) Mà \(H\) là trực tâm tam giác đều \(ABF\to HD=\frac{1}{3}BD=\frac{R\sqrt{3}}{3}\to EH=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.\)

Vậy diện tích tứ giác \(AEFH\) bằng \(\frac{1}{2}\cdot EH\cdot AF=\frac{1}{2}\cdot\frac{2R\sqrt{3}}{3}\cdot2R=\frac{2R^2\sqrt{3}}{3}.\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)

Áp dụng BĐT cô si 

=> \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\) (1)

CM  \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\) \(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

XH : \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\)

= \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\sqrt{ab}\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\)

= \(\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\) Với mọi a ; b > 0 

Tự Cm tiếp nha 

dk:x>=0

=>căn x+x>=0

=>min A=0 khi x=0

(làm tắt)

Tiếp tục là p2 trừ để hỏng

Ta thấy x=2 là nghiệm của pt và VT=VP=8

trừ cả hai vế cho 8 ta có: pt <=>\(x^2-x-2=4\sqrt{3x-2}-8\)

\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)=4\left(\sqrt{3x-2}-2\right)\)

\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)-4\left(\frac{3x-2-4}{\sqrt{3x-2}+2}\right)=0\)

\(\left(x-2\right)\left(x+1-\frac{12}{\sqrt{3x-2}+2}\right)=0\)

Gpt ta có x=2 và......

pt trong dg hon

Hoàng Triều Minh Lê trục căn lm j, ko liên quan đâu nha @@