điều kiện \(x\ge0;P\ge0\)

Để chứng minh \(p>\sqrt{P}\)luôn đúng ta cần chứng minh P>1 luôn đúng.

Giả sử P>1 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}>1\)\(\Leftrightarrow\)\(x+16>\sqrt{x}+3\)\(\Leftrightarrow\)\(x-\sqrt{x}+13>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+\sqrt{x}+\frac{1}{4}+12,75>0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+12,75>0\)luôn luôn đúng

như vậy P luôn luôn >1 là đúng\(\Leftrightarrow\)\(p>\sqrt{P}\)luôn đúng (đpcm)

Vì \(p\)là số nguyên tổ nên tổng các ước nguyên dương của \(p^4\)là \(1+p+p^2+p^3+p^4\).

Đặt \(p^4+p^3+p^2+p+1=n^2\)

\(\Leftrightarrow4p^4+4p^3+4p^2+4p+1=4n^2\)

Ta có: 

\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4>4p^4+4p^3+p^2=\left(2p^2+p\right)^2\)

\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4< 4p^4+4p^3+9p^2+4p+4=\left(2p^2+p+2\right)^2\)

Suy ra \(\left(2p^2+p\right)^2< 4n^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1\)

\(\Rightarrow p^2-2p-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p-3\right)=0\)

\(\Rightarrow p=3\)thỏa mãn. 

Vậy \(p=3\).

Ta có: \(4ab\le2a^2+2b^2\)

=> \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}\le\sqrt{4a^2+9b^2+12ab}=\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}=2a+3b\)

=> \(\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)

Chứng minh tương tự 

=> \(T\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)

Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức

=> \(T\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=1\)

=> \(MinT=1\)xảy ra khi a=b=c=5/3

Câu 1: 

\(B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{4\sqrt{x}}{4-x}-\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

\(P=A.B=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\right)^2\)

\(P< P^2\Leftrightarrow P\left(1-P\right)< 0\Leftrightarrow P>1\)(vì \(P>0\)) 

\(\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\right)^2>1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}>1\\\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}< -1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-2>\sqrt{x}+2\\\sqrt{x}-2< -\sqrt{x}-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}0\sqrt{x}>4\left(vn\right)\\\sqrt{x}< 0\left(vn\right)\end{cases}}\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\)thỏa mãn.