Cho bàn cờ hình chữ nhật \(C\) kích thước \(m\times n\) với \(M\) là tập hợp các vị trí cấm. Đặt \(p=min\left\{m,n\right\}\). Gọi \(r_k\left(M\right)\) là số cách đặt \(k\) quân xe không ăn nhau trên bàn cờ \(M\), chứng minh rằng:

 \(r_k\left(C\backslash M\right)=\sum\limits^k_{l=0}\dfrac{\left(m-l\right)!\left(n-l!\right)}{\left(m-k\right)!\left(n-k\right)!\left(k-l\right)!}r_l\left(M\right)\)

 Cho bàn cờ \(C\) bất kỳ gồm \(m\) hàng và \(n\) cột, đa thức quân xe của bàn cờ \(C\) được định nghĩa như sau:

 \(R\left(C,x\right)=r_0\left(C\right)+r_1\left(C\right)x+...+r_k\left(C\right)x^k+...=\sum\limits^{\infty}_{k=0}r_k\left(C\right)x^k\)

 trong đó \(r_k\left(C\right)\) là số cách xếp \(k\) con xe không "ăn nhau" trên bàn cờ \(C\).

  a) Gọi \(C_d,C_c\) là bàn cờ tương ứng có được khi đổi chỗ hai dòng bất kì và hai cột bất kì của \(C\). Chứng minh rằng \(R\left(C,x\right)=R\left(C_d,x\right)=R\left(C_c,x\right)\)

  b) Hai bàn cờ \(A,B\) gọi là hai bàn cờ độc lập nếu không có ô vuông vào của A và B chung hàng hoặc chung cột. VD trong hình thì A và B là hai bàn cờ độc lập:

 Chứng minh rằng nếu A, B là hai bàn cờ độc lập thì \(R\left(A\cup B,x\right)=R\left(A,x\right).R\left(B,x\right)\)

 c) Ta gọi một miền ô vuông \(S\) của \(C\) là block của bàn cờ \(C\) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

 i) Với bất kì hai dòng \(i,i'\) chứa ô của \(S\) và cột \(j\) không chứa ô nào của \(S\) thì hai ô \(\left(i;j\right)\) và \(\left(i';j\right)\) hoặc cùng là ô vuông của \(C\) hoặc không cùng là ô vuông của \(C\).

 ii) Với bất kì hai cột \(j,j'\) chứa ô của \(S\) và dòng \(i\) không chứa ô nào của \(S\) thì hai ô \(\left(i;j\right)\) và \(\left(i;j'\right)\) hoặc cùng là ô vuông của \(C\) hoặc không cùng là ô vuông của \(C\).

 (Lưu ý: Nếu \(C\) là bàn cờ gồm các ô vuông thì mỗi ô vuông của \(C\) được xem là một block của \(C\))

 Ví dụ trong hình thì vùng màu cam là block của bàn cờ \(C\):

 Cho \(C\) là bàn cờ các ô vuông có block S nằm trên \(m\) dòng và \(n\) cột, đặt \(p=min\left\{m,n\right\}\). Với mỗi \(0\le k\le p\), kí hiệu \(D_k\left(S\right)\) là bàn cờ có được từ bàn cờ \(C\) sau khi thực hiện các bước sau:

 1. Bỏ tất cả các ô của \(S\).

 2. Bỏ tất cả các ô thuộc \(k\) dòng tùy ý trong số \(m\) dòng của \(S\).

 3. Bỏ tất cả các ô thuộc \(k\) cột tùy ý trong số \(n\) cột chứa các ô của \(S\).

Chứng minh rằng đa thức quân xe của bàn cờ \(C\) là:

 \(R\left(C,x\right)=\sum\limits^p_{k=0}r_k\left(S\right)x^kR\left(D_k\left(S\right),x\right)\).

 Để chúc mừng năm mới Giáp Thìn 2024, trường THPT X tổ chức một ngày hội đốt pháo. Ban tổ chức sắp xếp 2024 quả pháo thành một vòng tròn và được đánh số lần lượt là 1, 2,... 2024 theo chiều kim đồng hồ. Người ta kích nổ quả pháo số 1. Kể từ đó, các quả pháo nổ theo quy tắc: Theo chiều kim đồng hồ, cứ cách 1 quả pháo là lại nổ một quả pháo (Từ quả pháo số 1, quả pháo số 3 sẽ nổ. Tiếp đó lần lượt là quả số 5, số 7,... Cho đến khi quả pháo số 2023 nổ thì đến lượt quả pháo số 2 nổ (thông qua quả số 2024 còn quả 1 thì đã nổ trước đó) và cứ thế tiếp tục.) 

 a) Chứng minh rằng sau cùng, luôn tồn tại một quả pháo không nổ. Hỏi đó là quả pháo số mấy?

 b) Cũng với câu hỏi trên nhưng thay 2024 quả pháo bằng một số nguyên dương \(n\ge2\) tùy ý.