Cho điểm P nằm trong tam giác ABC. Một đường thẳng qua P cắt AB,AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:

\(S_{ABC}\ge8\sqrt{S_{BMP}.S_{CNP}}\)

\(\sqrt{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

\(2012x^{2013}+2013y^{2014}=2015\)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R (R>9). Trên bán kính OA lấy hai điểm C và D sao cho AC=6; AD=9. Đường thẳng vuông góc với AB tại D cắt nửa đường tròn tại E. Điểm F thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat{ACF}=\widehat{DCE}\). Đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với 2 cạnh của góc ECF và tiếp xúc trong với đường tròn tâm O. Tính r.

tìm cặp số nguyên dương x,y thỏa: \(9x^2\)+27\(y^2\)=864+12xy

tìm a,b để f(x) chia hết cho g(x). Biết:

f(x)=\(9x^3\)+(3a+4b)\(x^2\)- (5a-12b)x  -   343; g(x)=\(\left(3x-7\right)^2\)

cho P(n)=\(\sqrt{3-\sqrt{8}}\)+\(\sqrt{5-\sqrt{24}}\)+\(\sqrt{7-\sqrt{48}}\)..............+\(\sqrt{2n+1-\sqrt{4n^2}+4n}\)

tính P(7743)?

\(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}=28\)

cho tam giác ABC có một cạnh bằng 60 cm và chu vi bằng 160cm . Tìm độ dài hai cạnh còn lại để tam giác ABC có diện tích lớn nhất(cho biết diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là a,b,c có thể tính bằng công thức sau:

S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)_{ }}\);p=(a+b+c):2

tìm tứ giác co01 diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O,R) cố định (trình bày cả cách giải). Tính chu vi và diện tích của tứ giác đó biết R=5.2358(cm)