1, P=5-8x-x^2

      = -(x^2+2*4*x+4^2) +21

      =-(x+4)^2+21

Vì (x+4)^2> hoặc= 0 nên -(x+4)< hoặc =0=>P< hoặc bằng 21

=>GTLN của P là 21

2,P=4x-x^2+1

     =-(x^2-2*2*x+2^2)+5

     =-(x-2)^2+5

Tương tự như câu 1, ta có GTLN của P là 5

Gọi K là trung điểm của AC .

Xét tam giác ADC ta có :

\(AE=DE\)(GT)

\(AK=CK\)(GT)

=> EK là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow EK=\frac{1}{2}CD\)

Xét tam giác ABC ta có :

\(BF=CF\)(GT)

\(KA=KC\)(GT)

=> KF là đường trung bình của tam giác ABC

+) Xét tam giác EFK ta có :

\(EF\le EK+KF\)

Mà \(EK=\frac{1}{2}CD\)( chứng minh trên )

\(KF=\frac{1}{2}AB\)( chứng minh trên )

\(\Rightarrow EK+KF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}\)

\(=\frac{AB+CD}{2}\)

Vậy \(EF\le\frac{AB+CD}{2}\) ( đpcm)

1)Ta có A =x² - 4x + 1

             = x² - 2.2.x + 2² - 3

             = ( x - 2 )² -3

  Với x \(\inℝ\), ( x - 2 )² \(\ge\)0 

  \(\Rightarrow\)(x - 2 )² - 3 \(\ge\)-3

Vậy GTNN của A là -3

2) Ta có B = 4x² + 4x + 11

                   = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² +10

                  = ( 2x + 1 )² +10

*tương tự câu 1*

3) *tương tự câu 2*

4) Ta có P = ( 2x + 1 )² + ( x + 2)² 

                   = [ ( 2x )² + 2.2x.1 + 1²  ] + [ x² + 2.x.2 + 2² ]

                    = 4x² + 4x +1 + x² + 4x + 4 

                    = 5x² + 8x + 5

       Với x\(\inℝ\), 5x² \(\ge\)0

             mà GTNN của 8x + 5 là 5

\(\Rightarrow\) GTNN của 5x² + 8x + 5  là 5

  Vậy GTNN của  ( 2x + 1 )² + ( x + 2)²  là 5

Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-1\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}\)

Lại có: \(a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\cdot\frac{1}{4}=1\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)

\(x+y=a+b\)(1)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)(2)

Ta thấy: \(x+y=a+b\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\). Mà \(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow xy=ab\Rightarrow3xy=3ab\)(3)

Từ (1); (2) và (3) \(\Rightarrow x^3+y^3=a^3+b^3\)

Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=a^4+2a^2b^2+b^4\)

Vì \(xy=ab\Rightarrow2x^2y^2=2a^2b^2\Rightarrow x^4+y^4=a^4+b^4\)

Sau đó sử dụng phép quy nạp là xong.

36 phút = 0,6h

Gọi thời gian để ô tô thứ 2 tới B là t ( t>0 )

Ta có hệ phương trình :

50t = 45t + 0,6.45

<=> 5t = 27

<=> t = 5,4 h

=> AB = 5,4.50 = 270 km

Vì đa thức chia có bậc 2 nên bậc của đa thức dư không vượt quá 1 .

Ta có :

\(\left(x^{54}+x^{45}+...+x^9+1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right).Q+\left(ax+b\right)\)

Lần lượt ta có giá trị riêng là :

\(x=1;x=-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7=a+b\\1=-a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}}\)

Vậy đa thức dư cần tìm là : \(3x+4\)

Do bậc của số chia là 2 nên số dư sẽ có dạng \(ax+b\)

Đặt \(x^{54}+x^{45}+...+x^9+1=\left(x^2-1\right).G\left(x\right)+ax+b\) với \(G\left(x\right)\) là đa thức thương 

Thay \(x=1\) vào đẳng thức trên ta được : \(1+1+1...+1+1=a+b\Leftrightarrow a+b=7\) (1)

Thay \(x=-1\) vào đẳng thức trên ta được :\(1-1+1-1+...-1+1=-a+b\Leftrightarrow-a+b=1\)(2)

Cộng \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta được \(2b=8\Rightarrow b=4\Rightarrow a=7-b=7-4=3\)

Vậy số dư của phép chia trên là \(3x+4\)

a) 2n^3 + 2n^2 - 2n^3 - 2n^2 + 6n = 6n chia hết 6

b) 3n - 2n^2 - ( n + 4n^2 - 1 - 4n ) - 1 

= 3n - 2n^2 - n - 4n^2 + 1 + 4n -1

= 6n - 6n^2 chia hết 6

c) m^3 + 8 - m^3 + m^2 - 9 - m^2 - 18

= - 19

Bài 1:

\(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n\left(n^2+n-n^2-n+3\right)\)

\(=6n\)\(⋮\)\(6\)
Bài 2:

\(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1\)

\(=3n-2n^2-\left(n+4n^2-1-4n\right)-1\)

\(=6n-6n^2=6\left(n-n^2\right)\)\(⋮\)\(6\)

Bài 3:

\(\left(m^2-2m+4\right)\left(m+2\right)-m^3+\left(m+3\right)\left(m-3\right)-m^2-18\)

\(=m^3+8-m^3+m^2-9-m^2-18\)

\(=-19\)

\(\Rightarrow\)đpcm