a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

bạn  giải sai rùi

1/ \(3x^2+6x-\frac{4}{3}=\sqrt{\frac{x+7}{3}}\)

Đặt \(t+1=\sqrt{\frac{x+7}{3}}\)

\(\Leftrightarrow3t^2+6t-4=x\) từ đây ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}3t^2+6t-4=x\\9x^2+18x-4=t\end{cases}}\)

Tới đây thì đơn giản rồi

2/ \(9x^2-x-4=2\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow9x^2=x+3+2\sqrt{x+3}+1\)

\(\Leftrightarrow9x^2=\left(\sqrt{x+3}+1\right)^2\)

Tự làm nốt

Đặt 111...1=a      ( n chữ số 1 )

=>10ⁿ=9a+1

Ta có

111...1222...2=(111...1).10ⁿ+222...2

=a(9a+1)+2a

=9a²+a+2a

=9a²+3a

=3a(3a+1)

=> DPCM

Đặt 111...1=a      ( n chữ số 1 )
=>10n=9a+1
Ta có
111...1222...2=(111...1).10n+222...2
=a(9a+1)+2a
=9a2+a+2a
=9a2+3a
=3a(3a+1)
=> DPCM

không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x bé hơn hoặc bằng y

=> 1/x lớn hơn hoặc bằng 1/y

=> 1/x+1/x bé hơn hoặc bằng 1/x+1/y

=>2/x bé hơn hoặc bằng 1/2

=> x bé hơn hoặc bằng 4

Vì 1/x+1/y=1/2

=> 1/x<1/2

=> x>2

=> x=3 hoặc x=4

Với x=3

=>1/3+1/y=1/2

=> 1/y=1/2-1/3=1/6

Với x=4

=> 1/y=1/2-1/4=1/4

=>y=4

Vậy các cặp số (x,y) thỏa mãn là: (3,6);(6,3);(4,4)

 phân tích 1/2=6/12=2/12+4/12=1/6+1/3 . 

1/2=9/18=3/18+6/18=1/6+1/3

1/2=12/24=4/24+8/24=1/6+1/3

1/2= 15/30=5/30 + 10/30 = 1/6 + 1/3

vậy x=6 ; y = 3 hoặc ngược lại

\(cos2A+cos2B-cos2C\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)-2cos^2C+1\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow-cos\left(C\right).cos\left(A-B\right)-cos^2C\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2\left(A-B\right)+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosC+cos\left(A-B\right)\right)^2+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)(đúng)

Ta có ĐPCM

Hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có đáy chung là AB và có chiều cao bằng nhau, vậy chúng có diện tích bằng nhau.

Suy ra cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành cho trước:

- Lấy nột cạnh của hình bình hành ABEF làm một cạnh của hình chữ nhật cần vẽ, chẳng hạn cạnh AB.

- Vẽ đường thẳng EF.

- Từ A và b vẽ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF, chúng cắt đường thẳng EF lần lượt tại D, C. vẽ các đoạn thẳng AD,

BC. ABCD là hình chữ nhật có cùng diện tích với hình bình hành ABEF đã cho

0

Hệ <=> (x + y)y + x2 + 1 - 4y = 0 và y(x + y)2 - 2(x2 + 1 ) - 7y = 0 

Chia cả 2 vế của 2 phương trình cho y, ta được hệ : 

( x + y) + (x2 + 1)/y - 4 = 0 và ( x + y)2 - 2(x2 + 1)/y - 7 = 0 

đặt a = x + y 

b = ( x2 + 1)/y 

Ta có hệ : 

a + b - 4 = 0 và a2 - 2b - 7 = 0 

Giải ra ta có ( x,y ) = (1,2 ) hoặc ( -2,5 

\(\hept{\begin{cases}2y^3+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left(2y^2+1\right)\left(1\right)\\\sqrt{2y^2-4y+3}=5-y+\sqrt{x+4}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2y^3-6y^2+6y-2\right)+\left(y-1\right)=\sqrt{1-x}+2\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^3+\left(y-1\right)=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)

Xét hàm số: \(f\left(a\right)=a^3+a\) ta thấy hàm số này đồng biến nên từ đây ta có thể suy ra.

\(y-1=\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow x=-y^2+2y\) thế vô (2) ta được

\(\sqrt{2y^2-4y+3}=5-y+\sqrt{-y^2+2y+4}\)

Tới đây thì không khó nữa. Bạn làm nốt nhé

Hệ <=> (x + y)y + x2 + 1 - 4y = 0 và y(x + y)2 - 2(x2 + 1 ) - 7y = 0 

Chia cả 2 vế của 2 phương trình cho y, ta được hệ : 

( x + y) + (x2 + 1)/y - 4 = 0 và ( x + y)2 - 2(x2 + 1)/y - 7 = 0 

đặt a = x + y 

b = ( x2 + 1)/y 

Ta có hệ : 

a + b - 4 = 0 và a2 - 2b - 7 = 0 

Giải ra ta có ( x,y ) = (1,2 ) hoặc ( -2,5