bằng 2

TL : 2 nha

a/ Nối M với N

\(AB\perp OH\)=> AB là tiếp tuyến (O) 

Ta có

 \(AO\perp MH;BO\perp NH\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm) \(\Rightarrow\widehat{MHN}=\widehat{AOB}=90^o\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow PM=PH;QN=QH\)

Ta có

\(sđ\widehat{MHN}=\frac{1}{2}sđ\) cung MN\(=90^o\)  (góc nội tiếp đường tròn) => sđ cung \(MN=180^o\) => MN là đường kính (O)

=>MN đi qua O => M, O, N thẳng hàng

b/ Gọi I là trung điểm của AB => IO là trung tuyến của \(\Delta OAB\)

Xét tg vuông OAB có

\(IO=IA=IB=\frac{AB}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> I là tâm đường tròn đường kính AB

Xét tứ giác ABNM có

\(AM\perp MN;BN\perp MN\)  => AM//BN => ABNM là hình thang

Ta có

OM=ON; IA=IB => IO là đường trung bình của hình thang ABNM => IO//BN

Mà \(BN\perp MN\Rightarrow IO\perp MN\) => MN là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

c/ 

Ta có

AM//BN (cmt) \(\Rightarrow\frac{EA}{EN}=\frac{EM}{EB}=\frac{AM}{BN}\) (theo talet)

Ta có 

AM=AH; BN=BH (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm = nhau)

\(\Rightarrow\frac{EA}{EN}=\frac{AM}{BN}=\frac{AH}{BH}\) => HE//BN (theo talet đảo)

Mà \(BN\perp MN\Rightarrow HE\perp MN\)

Xét \(\Delta MHN\) có

PM=PH; QN=QH (cmt) => PQ là đường trung bình của \(\Delta MHN\) => PQ // MN

Mà \(HE\perp MN\Rightarrow HE\perp PQ\)

\(HE\perp MN;AM\perp MN\) => HE//AM

Gọi L là giao của HE với MN

Xét \(\Delta AMN\) có

\(\frac{AN}{EN}=\frac{AM}{EL}\Rightarrow\frac{EA+EN}{EN}=\frac{EA}{EN}+1=\frac{AM}{EL}\) (1)

Xét \(\Delta AMB\) có

\(\frac{MB}{EB}=\frac{AM}{EH}\Rightarrow\frac{EM+EB}{EB}=\frac{EM}{EB}+1=\frac{AM}{EH}\) (2)

Mà \(\frac{EA}{EN}=\frac{EM}{EB}\left(cmt\right)\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{AM}{EL}=\frac{AM}{EH}\Rightarrow EL=EH\)

Xet tg MHL có 

PM=PH; EL=EH (cmt) => PE là đường trung bình của tg MHL => PE//MN

Mà PQ // MN (cmt)

=> PE trùng PQ (Từ P chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với MN) => P, Q, E thẳng hàng

\(=\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}\)

\(=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{3}+3\)

a/ 

Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Ta có

\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\) 

Ta có

MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)

M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N

c/

Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có

OC chung

NC = AC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)

Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)

Ta có

sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)

=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN

=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB

\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)

Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)

Xét tg CKA và tg ODC có

\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)

d/

Gọi I là giao của EF với MA

Xét tg OAB và tg OEF có

OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))

\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)

Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)

Xét \(\Delta MIE\) có

\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I