Xét Parabol (P):y=x2(P):y=x2

và đường thẳng (d):y=(2m−1)x−m+2(d):y=(2m−1)x−m+2

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)(P) và (d)(d) ta có :

x2=(2m−1)x−m+2x2=(2m−1)x−m+2

⇔x2−(2m−1)x+m−2=0⇔x2−(2m−1)x+m−2=0

(a=1;b=−(2m−1);c=m−2)(a=1;b=−(2m−1);c=m−2)

Ta có :

Δ=b2−4acΔ=b2−4ac

=(−(2m−1))2−4.1.(m−2)=(−(2m−1))2−4.1.(m−2)

=4m2−4m+1−4m+8=4m2−4m+1−4m+8

=4m2−8m+9=4m2−8m+9

=4(m2−2m+1)+5=4(m2−2m+1)+5

=4(m−1)2+5>0∀m=4(m−1)2+5>0∀m

⇔Δ>0⇔Δ>0

⇔⇔ (P)(P) và (d)(d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt (đpcm)(đpcm)

a, Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình 

\(x^2=2\left(m-1\right)x-2m+4\Leftrightarrow x^2-2\left(m-1\right)x+2m-4=0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-4\right)=m^2-2m+1-2m+4=m^2+5\ge5>0\forall m\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, mình chỉ sửa đề cho dễ viết hơn thôi bạn nhé \(A=y_1+y_2\)đạt GTNN và bài này có GTNN thôi nhaa 

Theo Viet \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4\left(m+1\right)^2-2\left(2m-4\right)=4\left(m^2+2m+1\right)-4m+8\)

\(=4m^2+8m+4-4m+8=4m^2+4m+12=4\left(m^2+m\right)+12\)

\(=4\left(m^2+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+12=4\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+11\ge11\forall m\)

Dấu ''='' xảy ra khi m = -1/2 

Vậy m = -1/2 thì A đạt GTNN là 11 

\(\sqrt{x^2-10x+25}-3=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-5\right)^2}=3\)\(\Leftrightarrow\left|x-5\right|=3\)(*)

Trường hợp \(x\ge5\)thì (*) \(\Leftrightarrow x-5=3\Leftrightarrow x=8\left(nhận\right)\)

Trường hợp \(x< 5\)thì (*) \(\Leftrightarrow5-x=3\Leftrightarrow x=2\left(nhận\right)\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{2;8\right\}\)