Gọi I là giao điểm của hai AC và BD (1)

Ta có: AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD

=> AI = IC và BI = ID

Xét tam giác ABC có: AE=EB và AI = IC

=> EI là đường trung bình của tam giác ABC

=> EG cắt AC tại I (2)

Xét tam giác ABD có AH=HD và DI=IB

=> HI là đường trung bình của tam giác ABD

=> HF cắt BD tại I (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra EG cắt HF tại I (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra EG,HF,AC,BD đồng quy tại I

\(P=x\left(x+a\right)\left(x-a\right)\left(x+2a\right)+a^4\)        

   \(=\left(x^2+ax\right)\left(x^2+ax-2a^2\right)+a^4\)

Đặt \(x^2+ax=t\)

Khi đó: \(P=t\left(t-2a^2\right)+a^4\)

              \(=t^2-2ta^2+\left(a^2\right)^2=\left(t-a^2\right)^2=\left(x^2+ax-a^2\right)^2\)

Chúc bạn học tốt.

Đặt b+c=x , c+a=y , a+b=z => a+b+c=(x+y+z)/2 
=> a=(y+z-x)/2 và b=(x+z-y)/2 và c=(x+y-z)/2 

VT = a/(a+b) +b/(b+c) +c/(c+a) 
=(y+z-x)/(2x) + (x+z-y)\(2y) + (x+y-z)/(2z) 
=(y/x + z/x -1+ x/y + z/y -1+ x/z + y/z -1 )/2 
=( y/x+ z/x + x/y + z/y + x/z + y/z -3 )/2 

Áp dụng Bđt cô si (3 lần cho 3 cặp nghich đảo) 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) >= 2x3 =6 <=> 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3 >= 3<=> 
[( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3]/2 >= 3/2<=> 
VT >= 3/2 
Dấu = xảy ra khi: x=y=z <=> a=b=c

Ta Đặt

\(b+c=x;c+a=y;a+b=z\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Khi đó VT trở thành:

\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta được;

VT\(\ge\frac{1}{2}\left(6-3\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

x²(1-x²)-4-4x²

=x²(1-x²)-4(1-x²)

=(x²-4)(1-x²)

=(x-2)(x+2)(1-x)(1+x)

nhầm

\(x^2\left(1-x^2\right)-4-4x^2=x^2-x^4-4-4x^2=x^2-\left(x^2+4x^2+4\right)=x^2-\left(x+2\right)^2=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2+x+2\right)\)

= -16-6xy+y^2-x^2

= -(2+y)^2

nhầm tí = -(2-y)^2-x^2

\(\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)-\left(x-4\right)\left(x^2+4x+16\right)\)

\(=x^3+2x^2-x-2-\left(x^3-4^3\right)\)

\(=x^3+2x^2-x-2-x^3+64\)

\(=2x^2-x+62\)

\(2x\left(3x-2\right)^2\)

\(=2x\left(9x^2-12x+4\right)\)

\(=18x^3-24x^2+8x\)

\(\left(x-3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\)

\(=x^3-3x^2+18x-27\)

\(\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)-\left(x-4\right)\left(x^2+4x+16\right)\)

\(=\left(x^2-1^2\right)\left(x+2\right)-x^3-4^3\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-x^3-64\)

3.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 14cm, BC= 50cm. Gọi h là trung điểm AC. Đường vuông góc được vẽ từ H của AC cắt đường phân giác góc B ở K, và cắt BC tại M. Từ H hạ HD vuông góc BC (H thuộc BC).

a) tính HC.

b) CM: tam giác BKC vuông.

c) tính BK.

d) CM: DB^2 – DC^2= AB^2