ai ma biet duoc ngu ngu ngu 

\(2ab\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\frac{1}{4}\)

đề bài hỏi j vậy bạn . hình như có kết quả rồi mà

3333334

áp dụng bdt amgm ta có

\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)+\(4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}+2\sqrt{4\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}}\) =6

dau = xay ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\4\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

kl (x;y ) =(1;1/4)

ĐKXĐ: \(x;y>0\)

\(\sqrt{x}+4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)

Á dụng bđt Cauchy ta có :

 \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\)

\(4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge2\sqrt{4\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}}=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge6\) Hay \(VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\4\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

ta có: \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1\)

<=>a(1+b)+(1+a)2b=(1+a)(1+b)

<=> a+ab+2b+2ab=1+a+b+ab

<=>b+2ab=1  => (b+2ab)^2  =1  <=>\(b^2+4ab^2+4a^2b^2=1\)      

mặt khác ta có: \(ab^2\le\frac{1}{8}\)   (*)

=> \(ab^2\le\frac{b^2+4ab^2+4a^2b^2}{8}\)

                                                <=>\(8ab^2\le b^2+4ab^2+4a^2b^2\) 

                                               <=>\(b^2-4ab^2+4a^2b^2\ge0\)

                                              <=> \(\left(b-2ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

                                             =>(*) luôn đúng => đpcm

Vận dụng những bài đã biết :V 

đặt b=c ,ta có: 

\(\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{2b+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\).Cần tìm min của abc. :V quen chưa :V

Có tổng số 100 con trâu, và 100 bó cỏ.
Có 3 loại trâu là: trâu đứng, trâu nằm, và trâu già.
Mỗi con trâu đứng sẽ ăn 5 bó cỏ, mỗi trâu nằm ăn 3 bó cỏ, trâu già thì 3 con ăn 1 bó cỏ.
Hỏi số trâu mỗi loại là bao nhiêu, biết rằng theo như cách chia cỏ trên, thì tất cả là 100 con trâu, 100 bó cỏ.

Đáp án:
Có 3 đáp án đúng: Số trâu mỗi loại là:
Đáp án 1: Trâu đứng 4, trâu nằm 18, trâu già 78.
Đáp án 2: Trâu đứng 8, trâu nằm 11, trâu già 81.
Đáp án 3: Trâu đứng 12, trâu nằm 4, trâu già 84.