Đặt \(S=\frac{ab}{p-c}+\frac{bc}{p-a}+\frac{ca}{p-b}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(S=\frac{2ab}{a+b-c}+\frac{2bc}{b+c-a}+\frac{2ca}{c+a-b}\ge2\left(a+b+c\right)\)

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)thì \(x+y+z=a+b+c;a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{x};c=\frac{x+y}{2}\)

Ta cần chứng minh \(S=\text{∑}_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}\ge2\left(x+y+z\right)\)

Ta có:

\(S=\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{2y}+\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{2x}\)

\(=\frac{xy+yz+zx+z^2}{2z}+\frac{xy+zx+yz+y^2}{2y}+\frac{x^2+xy+zx+yz}{2x}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

\(=\left(\frac{x-2\sqrt{x}-1}{x-4}-\frac{x-4}{x-4}\right):\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\right]\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}-1-x+4}{x-4}:\left[\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\right]\)

\(=\frac{3-2\sqrt{x}}{x-4}:\frac{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(x-9\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x-3}\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

bạn làm tiếp nha! làm bằng máy tính phức tạp lắm

ta có: y^2 +2xy -3x-2=0

    <=> y^2 +2xy+x^2 =x^2 +3x+2

<=> (y+x)^2 =(x+1)(x+2)

vì  (x+1) và (x+2) là 2 số liên tiếp mà tích (x+1)(x+2) là 1 số chính phương nên:  (x+1)=0 hoặc (x+2) =0

+)với x+1=0 => x=-1 =>y=1

+) với x+2=0=>x=-2=>y=2

vậy nghiệm của pt là (x;y)= { (-2;2);(-1;1)}

xét VT = \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{a-a-1}\)   + \(\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}}{a+1-a+2}\) + \(\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a+3}}{a+2-a-3}\) 

         =  \(-\)\(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+2}+\sqrt{a+3}\) 

         =   \(\sqrt{a+3}-\sqrt{a}\)

          =   \(\frac{\sqrt{a+3}^2-\sqrt{a}^2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)

         =\(\frac{a+3-a}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\) =\(\frac{3}{\sqrt{a+3}\sqrt{a}}\) = VP \(\Rightarrow\) đpcm