mình chỉ biết bài 3 thôi. hai bài kia cx làm được nhưng ngại trình bày 

Ta có : BC = BH +HC = 4 + 9 = 13 (cm)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

- AC² = BC * HC 

AC² = 13 * 9 = 117 

AC = \(3\sqrt{13}\)(cm)

- AB² =BH * BC 

AB² = 13 * 4 = 52 

AB = \(2\sqrt{13}\)(CM)

trong sbt có giải ý. dựa vào mà lm

\(\sqrt{8x+1}=x^2+3x-1\)

\(8x+1=x^4+9x^2+1+6x^3-2x^2-6x\)

\(8x=x^4+9x^2+6x^3-2x^2-6x\)

\(8x=x^4+7x^2+6x^3-6x\)

\(8x-x^4-7x^2-6x^3+6x=0\)

\(14x-x^4-7x^2-6x^3=0\)

\(x\left(14-x^3-7x-6x^2\right)=0\)

\(x\left(-x^3-6x^2-7x+14\right)=0\)

\(x\left(-x^3+x^2-7x^2+7x-14x+14\right)=0\)

\(x\left[-x^2\left(x-1\right)-7x\left(x-1\right)-14\left(x-1\right)\right]=0\)

\(x\left[-\left(x-1\right)\left(x^2+7x+14\right)\right]=0\)

\(-x\left(x-1\right)\left(x^2+7x+14\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}-x=0\\x-1=0\\x^2+7x+14\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=1\\x\notin R\end{cases}}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\ge1\)\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{a+b+1}+1-\frac{1}{b+c+1}+1-\frac{1}{c+a+1}\le2\)\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\le2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)\(\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2+2\left(a+b+c\right)}\)

Từ đó suy ra \(\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2+2\left(a+b+c\right)}\le2\)               \(\Leftrightarrow\left(a+b+b+c+c+a\right)^2\)                     \(\le2\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2+2\left(a+b+c\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Dễ lắm bn.

Giải:

\(\frac{1}{1-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{10}-1\)

\(=9\)

lam sao vay