a) Ta có:

• Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 3cm * 4cm = 6cm^2.
• Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên diện tích tam giác ABC cũng bằng 1/2 * AB * CD, tức là: S = 1/2 * AB * CD = 3CD.
  Từ đó suy ra: CD = 2cm.

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. Ta có:

• Tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

• Tam giác BDE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AC.
  Do đó, ta có:

• AI/AB = DE/BC (vì tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng)

• DE = AD - AE = AD - CD = AD - 2 (vì tam giác ADE vuông tại E và CD là hình chiếu của AD trên BC)

• BC = AB + AC = 3 + 4 = 7
  Từ đó suy ra: AI/AB = (AD - 2)/7

Vậy, ta có: AI*AB = (AD - 2)AB/7 = ADAB/7 - 2AB/7 = AD^2/3 - 2/7.

c) Gọi F là hình chiếu vuông góc của D trên AB. Ta có:

• Tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

• Tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng CD/AC.
  Do đó, ta có:

• AI/AB = DF/AF (vì tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng)

• AK/AC = CF/AF (vì tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng)

• DF + CF = CD = 2

• AF = AB - BF = AB - AK = 3 - AK (vì BF là hình chiếu của B trên AC và AK là hình chiếu của D trên AC)

Từ đó suy ra: AI/AB = DF/(DF + CF) = DF/2 = (AD^2 - AF^2)/(2AD^2) = (AD^2 - (AB - AK)^2)/(2AD^2) = (2AK*AC - AK^2)/(2AD^2) = AK/AD - AK^2/(2AD^2).

Từ b) và c), ta có: AIAB = AD^2/3 - 2/7 = AKAC*(1 - AK^2/(2AD^2)).

d) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC. Ta có:

• Tam giác ADH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

• Tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AI/AC.
  Do đó, ta có:

• ID/AI = DH/AB (vì tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng)

• DH = CD - CH = 2 - CI (vì tam giác ADH vuông tại H và CI là hình chiếu của I trên BC)

• AB = 3, AC = 4, BC = 7

Từ đó suy ra: ID/AI = (CD - CH)/AB = (2 - CI)/3.

Do đó, ta có: ID/AI = (2 - CI)/3 = (2 - AK)/4 (vì AIAB = AKAC từ c))

Từ đó suy ra: ID = (2AI - 3AK)/4.

Vậy, ta có: ID/AI = (2AI - 3AK)/(4AI) = 1 - 3AK/(2AI) = 1 - DH