Lời giải:

Gọi d là ƯCLN\((2n+1,3n+2)\) \((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3(2n+1)⋮d\\2(3n+2)⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \((6n+4)-(6n+3)⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản

Đường link : Câu hỏi của Hà Lê - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có : a⁴ + b⁴ \(\ge\)2a²b² ; b⁴ + c⁴ \(\ge\)2b²c² ; a⁴ + c⁴ \(\ge\)2a²c²

\(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\)a²b² + b²c² + a²c² ( 1 )

Lại có : a²b² + b²c² \(\ge\)2b²ac ; b²c² + a²c² \(\ge\)2c²ab ; a²b² + a²c² \(\ge\)2a²bc

\(\Rightarrow\)a²b² + b²c² + a²c² \(\ge\)abc ( a + b + c ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\) abc ( a + b + c ) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

Tương tự , b⁴ + c⁴ + d⁴ ​​​\(\ge\)​bcd ( b + c + d ) ; a⁴ + b⁴ + d⁴ ​\(\ge\)​abd ( a + b + d ) ; c⁴ + d⁴ + a⁴ ​\(\ge\)​acd ( a + c + d ) 

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\); \(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

Cộng từng vế theo vế , ta được : 

A \(\le\)1  ( đặt A = biểu thức ấy nhé )

Vậy GTLN A = 1 \(\Leftrightarrow\)a = b = c = d = 1

a, ( 8x + 5 )( 4x + 3 )( 2x + 1 ) = 9

<=> ( 8x + 5 )[ 2( 4x+3)] [ 4 ( 2x+1 )] = 9* 2 * 4

<=> (8x+5)(8x+6)(8x+4) = 72

Đặt 8x+5 = y ta có phương trình tương đương :

y ( y -1 ) ( y+1) = 72

......................

b, Tương tự phần a nhé

c, x^3 + 5x^2 + 5x + 2=0 

<=> x^3 + 1 + 5x^2 + 5x + 1 = 0

<=> (x+1)(x^2 - x +1) + 5x ( x+1 ) + 1 =0

<=> (x+1 ) ( x^2+4x + 1) + 1 = 0

\(\frac{5}{1\cdot3}+\frac{5}{3\cdot5}+\frac{5}{5\cdot7}+...+\frac{5}{99\cdot101}\)

\(=\frac{5}{2}\left[\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+...+\frac{2}{99\cdot101}\right]\)

\(=\frac{5}{2}\left[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right]\)

\(=\frac{5}{2}\left[1-\frac{1}{101}\right]=\frac{5}{2}\cdot\frac{100}{101}=\frac{5}{1}\cdot\frac{50}{101}=\frac{250}{101}\)

 Đặt tổng trên là A

     Gấp A lên 2 lần ta có :

\(2A=\frac{5\cdot2}{1\cdot3}+\frac{5\cdot2}{3\cdot5}+\frac{5\cdot2}{5\cdot7}+...+\frac{5\cdot2}{99\cdot101}\)

\(2A=5\left(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+...+\frac{2}{99\cdot101}\right)\)

\(2A=5\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right)\)

\(2A=5\left(1-\frac{1}{101}\right)\)

\(2A=5\cdot\frac{100}{101}\)

\(A=5\cdot\frac{100}{101}\div2=5\cdot\frac{100}{101}\cdot\frac{1}{2}=\frac{250}{101}\)

                                  #Louis

Tính nhanh

( 10,58+6,72+1,15)-(2,72+0,5+8,58)

= 10,58+6,72+1,15-2,72-0,5-8,58

= ( 10,58-8,58)+(6,72-2,72)+(1,15+0.5)

= 2+4+1.65

=6.65

Điền số

13

0,57

câu cuối sai nhé vì ko thể so sánh giữa hai đơn vị hoàn toàn khác nhau

(10,58+6,72+1,15)-(2,72+0,5+8,58)

=10,58+6,72+1,15-2,72-0,5-8,58

=(10,58-8,58)+(6,72-2,72)+(1,15-0,5)

=2+4+0,65

=6+0,65

=6,65

       Gọi Thừa số thứ 1 là a , thừa số 2 là b

     The bài ra ta có  :

a . b = 112

( a + 2 ) . b = 126

a . b + b + 2 = 126

112 + b + 2 = 126 

114 + b = 126

b = 126 - 114

b = 12

=> a . 12 = 112

=> a = 112 : 12 = 9,3333...

    KL : Đầu bài sai

                           #Louis

n + 5 chia hết cho n - 2

n - 2 + 7 chia hết cho n - 2

Mà n - 2 chia hết cho n - 2

=> 7 chia hết cho n - 2

n - 2 thuộc Ư(7) = {-7 ; -1 ; 1 ; 7}

n - 2 = -7  => n = -5

n - 2 =-1 => N = 1

n - 2 =  1 => n = 3

n - 2 = 7 => n = 9

Vậy n thuộc {-5 ; 1 ; 3 ; 9}

Thôi , làm cách này cho nhanh :v

\(\frac{n+5}{n-2}=\frac{n-2+7}{n-2}=1+\frac{7}{n-2}\)

\(\Rightarrow\frac{7}{n-2}\Leftrightarrow n-2\inƯ(7)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Lập bảng :

Do đó \(n\in\left\{3;1;9;-5\right\}\)

bn ơi ghi lại đề bài = phân số đc hk ghi cả nhân hay chia nx khó nhìn lắm!

ghi the duoc roi

a. Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của ∠A .

Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì ΔADI vuông tại E có ∠(DAI) = 45o nên ΔADI vuông cân tại D

Suy ra: ID = IA (2)

Vì ΔAEI vuông tại E có ∠(EAI) = 45o nên ΔAEI vuông cân tại E

Suy ra: IE = AE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.

b. Tam giác vuông BAC có A = 90o

Áp dụng định lí Pitago, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

= 62 + 82 = 36 + 64 = 100

⇒ BC = 10 (cm)

Kẻ IF ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:

∠(IDB) = ∠(IFB) = 90o

∠(DBI) = ∠(FBI) (gt)

cạnh huyền BI chung

Suy ra: ΔIDB = ΔIFB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) (4)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

∠(IEC) = ∠(IFC) = 90o

∠(ECI) = ∠(FCI) (gt)

cạnh huyền CI chung

Suy ra: ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) (5)

Mà: AD + AE = AB - DB + AC - CE

Suy ra: AD + AE = AB + AC - (DB + CF) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC - (FB + FC)

= AB + AC - BC = 6 + 8 - 10 = 4 (cm)

Mà AD = AE (chứng minh trên)

Nên AD = AE = 4 : 2 = 2(cm).

a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)

Các tam giác vuông ADI, AEI có DAIˆ=EAIˆ=45o nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82

BC2 = 36 + 64 = 100

⇒BC=100−−−√=10(cm).

Kẻ IF ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:

BI: cạnh huyền chung

IBDˆ=IBFˆ (gt)

Vậy: ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)

⇒ BD = BF (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:

CI: cạnh huyền chung

ICEˆ=ICFˆ(gt)

Vậy: ΔICE=ΔICF(ch−gn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.

Do BD = BF, CE = CF nên:

AB + AC - BC = AD + AE

⇒ 6 + 8 - 10 = AD + AE

⇒ AD + AE = 4 (cm).

Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.