Tui chơi bang bang trao đổi acc không

a^2+b^2+c^2+2abc<2

a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c

\(\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)

Chứng minh tương tự: b < 1; c < 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a>0\\1-b>0\\1-c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac>abc\)

\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ac>abc\)

\(\Leftrightarrow abc< -1+ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< -2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)

Hình bạn tự vẽ nhá, ta có BĐT cần chúng minh <=>\(\frac{AC.AB}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AB+BC};\frac{AN}{AB}=\frac{AC}{AC+BC}\Rightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}=\frac{\left(AC+BC\right)\left(AB+BC\right)}{AB.AC}\)

=\(\frac{AB.AC+BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}=1+\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\)

Mà \(BC=\sqrt{BC^2}=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

Mà \(AB^2+AC^2\ge2AB.AC\Rightarrow BC\ge\sqrt{2}.\sqrt{AB.AC}\)

Vì \(AB+AC\ge2\sqrt{AB.AC}\Rightarrow BC\left(AB+AC\right)\ge2\sqrt{2}AB.AC\)(1)

Ta có \(BC^2=AB^2+AC^2\ge2AB.AC\)(2)

Từ (1) và (2) 

=>\(BC\left(AB+AC\right)+BC^2\ge2AB.AC+2\sqrt{2}AB.AC\)

=>\(\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\ge2+2\sqrt{2}\Rightarrow\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}+1\ge3+2\sqrt{2}\)

=>\(\frac{AB.AC}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\left(ĐPCM\right)\)

^_^

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: \(A^2=\left(6\sqrt{x-2}+8\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(6^2+8^2\right)\left(x-2+5-x\right)\)

\(A^2\le300\Leftrightarrow-\sqrt{300}\le A\le\sqrt{300}\)