I) Hình bạn tự vẽ nha 

Ta có DY//BH ; YH//DB 

=> DYHB hình bình hành => DY = HB 

Tương tự được ZE = FC

mà \(\frac{BH}{BC}=1-\frac{HC}{BC}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\left(\Delta HIC\approx\Delta BAC;\frac{AB}{IH}=\sqrt{2}\right)\)(1)

Tương tự được \(\frac{FC}{BC}=1-\frac{BF}{BC}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)(2) 

Từ (1) ; (2) => BH = FC hay DY = ZE 

Giao điểm của (d) và (d') sẽ thỏa mãn hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}y=2x-1+2m\\y=-x-2m\end{cases}}\)\(\Rightarrow2x-1+2m=-x-2m\)\(\Leftrightarrow3x=-4m+1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1-4m}{3}\)

Để giao điểm của (d0 và (d') có hoành độ dương thì \(x>0\)hay \(\frac{1-4m}{3}>0\)\(\Leftrightarrow1-4m>0\)\(\Leftrightarrow4m< 1\)\(\Leftrightarrow m< \frac{1}{4}\)

Gọi điểm cố định mà đường thẳng \(y=\left(m-1\right)x+m+1\) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

Thay \(x=x_0;y=y_0\)vào hàm số \(y=\left(m-1\right)x+m+1\), ta có:

\(y_0=\left(m-1\right)x_0+m+1\)\(\Leftrightarrow y_0=mx_0-x_0+m+1\)\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-x_0-y_0+1=0\)(*)

Vì phương rình (*) luôn phải có nghiệm đúng với mọi m nên ta có \(\hept{\begin{cases}x_0+1=0\\1-x_0-y_0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=-1\\1-\left(-1\right)-y_0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=-1\\y_0=2\end{cases}}\)

Vậy khi m thay đổi thì đường thẳng \(y=\left(m-1\right)x+m+1\)luôn đi qua điểm \(A\left(-1;2\right)\)cố định.

GTLN thật sao bạn?
Xin lỗi bạn nhiều nhưng mình chỉ tìm được GTNN của P thôi.

\(P=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}\)\(=\frac{3x+3}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\)\(=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\)

Vì \(x>-1\Leftrightarrow x+1>0\)nên \(\frac{3\left(x+1\right)}{2}>0\)và \(\frac{1}{x+1}>0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(\frac{3\left(x+1\right)}{2}\)và \(\frac{1}{x+1}\), ta có:

\(\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}.\frac{1}{x+1}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{6}-\frac{3}{2}=\frac{2\sqrt{6}-3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{3\left(x+1\right)}{2}=\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x+1=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)(vì \(x+1>0\))

\(\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\)

Vậy GTNN của P là \(\sqrt{6}\)khi \(x=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\)

TL :

\(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=\sqrt{8+3}+\sqrt{8-3}=5.\)

HT

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=8+3\sqrt{21}\\b=8-3\sqrt{21}\end{cases}}\), khi đó \(x=\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\)

\(\Leftrightarrow x^3=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^3=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3+3\left(\sqrt[3]{a}\right)^2.\sqrt[3]{b}+3\sqrt[3]{a}.\left(\sqrt[3]{b}\right)^2\)

\(=a+b+3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}\)

Mà \(ab=\left(8+3\sqrt{21}\right)\left(8-3\sqrt{21}\right)=8^2-\left(3\sqrt{21}\right)^2=64-189=-125\)

\(\Rightarrow x^3=a+b+3\sqrt[3]{a.\left(-125\right)}+3\sqrt[3]{b.\left(-125\right)}=a+b+3.\left(-5\right)\sqrt[3]{a}+3.\left(-5\right)\sqrt[3]{b}\)

\(=a+b-15\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)\(=a+b-15x\)

Lại có \(a+b=8+3\sqrt{21}+8-3\sqrt{21}=16\)nên ta có \(x^3=16-15x\)\(\Leftrightarrow x^3+15x-16=0\)\(\Leftrightarrow x^3-x+16x-16=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x^2-1\right)+16\left(x-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+16\left(x-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x\left(x+1\right)+16\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+16\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+x+16=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)

Vì \(x^2+x+16=\left(x^2+2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{63}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{63}{4}\ge\frac{63}{4}>0\)nên \(\left(\cdot\right)\)vô nghiệm.

Vậy \(x=1\)hay \(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=1\)

Để \(\left(x^2-7x+11\right)^{x^2-13x+42}=1\)

TH1 : \(x^2-7x+11=1\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=5\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x^2-7x+11\ne0\\x^2-13x+42=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-7x+11\ne0\\\left(x-6\right)\left(x-7\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=7\end{cases}}\)

TH3 : \(\hept{\begin{cases}x^2-7x+11=-1\\x^2-13x+42⋮2\\x^2-13x+42\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\\x^2-13x+42⋮2\\x^2-13x+42\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=4\end{cases}}\)

=> PT có 6 nghiệm \(x\in\left\{2;3;4;5;6;7\right\}\)

\(\hept{\begin{cases}x=5\\x=3,5\\x=2\end{cases}}\hept{\begin{cases}x=2\\x=4\\x=3\end{cases}}\)

Mình ko viết đc dấu hệ nhiều lần do lỗi latex , mình ghi đc kết quả thôi

\(\hept{\begin{cases}\left|x\right|+y=3\\2\left|x\right|-y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3\left|x\right|=6\\\left|x\right|+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|=2\\2+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm \(\left(2;1\right)\)và \(\left(-2;1\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x^2-3xy+2y^2=0\left(3\right)\\3x+y=6\left(4\right)\end{cases}}\)

Giải \(\left(3\right)\), ta được \(x^2-3xy+2y^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2-xy-2xy+2y^2=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)-2y\left(x-y\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\x-2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=2y\end{cases}}\)

Nếu \(x=y\)thì thay vào \(\left(4\right)\), ta có: \(4y=6\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Nếu \(x=2y\)thì thay vào \(\left(4\right)\), ta có: \(7y=6\Leftrightarrow y=\frac{6}{7}\)\(\Rightarrow x=\frac{12}{7}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm \(\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)và \(\left(\frac{12}{7};\frac{6}{7}\right)\)

Gọi vận tốc của tàu thứ nhất là \(x\left(km/h,x>0\right)\), khi đó vì vận tốc của tàu thứ nhất nhỏ hơn vận tốc của tàu thứ hai là 5km/h nên vận tốc của tàu thứ hai là \(x+5\left(km/h\right)\)

Thời gian tàu thứ nhất đi từ bến A đến bến B là \(\frac{70}{x}\left(h\right)\)

Thời gian tàu thứ hai đi từ bến A đến bến B là \(\frac{70}{x+5}\left(h\right)\)

Vì tàu thứ nhất đến chậm hơn tàu thứ hai 20 phút \(=\frac{1}{3}h\)nên ta có phương trình 

\(\frac{70}{x}-\frac{70}{x+5}=\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow\frac{70\left(x+5\right)-70x}{x\left(x+5\right)}=\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow\frac{70x+350-70x}{x^2+5x}=\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow\frac{350}{x^2+5x}=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow x^2+5x=1050\)\(\Leftrightarrow x^2+5x-1050=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2-30x+35x-1050=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-30\right)+35\left(x-30\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-30\right)\left(x+35\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-30=0\\x+35=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=30\left(TMĐK\right)\\x=-35\left(KTMĐK\right)\end{cases}}\)

Vậy vận tốc của tàu thứ nhất là 30km/h, vận tốc của tàu thứ hai là 35km/h

\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\xy=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-1\\x\left(x-1\right)=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-1\\x^2-x-6=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)

Giải \(\left(\cdot\right)\), ta có \(x^2-x-6=0\)\(\Leftrightarrow x^2-3x+2x-6=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}\)

Nếu \(x=3\)thì \(y=x-1=3-1=2\)

Nếu \(x=-2\)thì \(y=-2-1=-3\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm \(\left(3;2\right)\)và \(\left(-2;-3\right)\)

Gọi 3 độ dài kích thước hình hộp chữ nhật là a;b;h .

Gọi độ dài 1 cạnh hình lập phương là c 

=> V_hhcn = a.b.h

V_hlp = c³ ; mà a + b + h = c + c + c = 3c

Khi đó V_hlp = c³ = \(\left(\frac{a+b+h}{3}\right)^3\ge\left(\frac{3\sqrt[3]{abh}}{3}\right)^3=abh\)= V_hhcn 

=> ĐPCM ("=" khi a = b = h = c)

a) Ta có \(V_{hhcn}=V_{hlp}\)

=> a.b.h = c³ 

Lại có : a + b + h \(\ge3\sqrt[3]{abh}=3\sqrt[3]{c^3}=3c\)

=> a + b + h \(\ge3c\)

=> ĐPCM