\(\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}=\frac{a^2}{2ab+a^2}+\frac{b^2}{2bc+b^2}+\frac{c^2}{2ca+c^2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+a^2+2bc+b^2+2ca+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn giải thích rõ hơn cho mình về xét dấu = xảy ra đc k?

Cho x/a + y/b + z/c = 0 quy dồng ta được xbc + ayc + abz = 0
và a/x + b/y + c/z = 2 bình phương cái thứ hai ta được
a^2/x^2 + b^2/y^2 + c^2/ z^2+ 2 ( (xbc+ ayc+ abz )/ xyz) =4
a^2/x^2 + b^2/y^2+ c^2/ z^2 + 2.( 0/ xyz) =4
=> A= a^2/x^2 + b^2/y^2+ c^2/ z^2 = 4

a)A=2x-6/(x+1)(x-1):1-2x/(x+1)(x-1)

     =3x-6/1-2x

b) A>-1<=>3x-6/1-2x>-1<=>3x-6>-1+2x

           <=>x>5

Vì 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên lần lượt nhân vs x; y; z ta có: 
1 + x/y + x/z = 0 (1) 
1 + y/z + y/x = 0 (2) 
1 + z/x + z/y = 0 (3) 
Từ (1); (2); (3) suy ra : x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = - 3 (*) 
Mặt khác : 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên quy đồng lên ta có: 
(xy + yz + zx)/xyz = 0 hay xy + yz + zx = 0 
Hay : (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2).(xy + yz + zx) = 0 
khai triển ra : 
yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 + x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = 0 
Vậy : yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = - (x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y) = 3 (theo (*))

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-1}{z}\)

\(\Rightarrow(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^3=(\frac{-1}{z})^3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^2}\frac{1}{y}+3\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^3}=\frac{-1}{z^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=-3\cdot\frac{1}{x}\frac{1}{y}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=-3\cdot\frac{1}{x}\frac{1}{y}\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})xyz=3\frac{1}{x}\frac{1}{y}\frac{1}{z}\cdot xyz\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=3\)

 Áp dụng bđt x^2+y^2>=2xy ta có: 
a^2/b^2+c^2/a^2 >=2 c/b 
b^2/c^2+c^2/a^2 >=2 b/a 
a^2/b^2 +b^2/c^2>=2 a/c 
cộngg thoe từng vế : 
2 VT>= 2VP 
=>VT>=VP(dpcm) 
dau "=" xảy ra khi a=b=c

đúng không đó bạn gì ơi

hmm..
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+b-c;b+c-a;c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\ge x+y+z\)

Ta có:\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\)

\(=\frac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\frac{xy+yz+y^2+zx}{4y}+\frac{zx+zy+z^2+xy}{4z}\)

\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}+\frac{x^2y^2}{xyz}\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3xyz}\right]\)\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{3xyz\left(x+y+z\right)}{3xyz}\right]\)

\(=x+y+z\)

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

x^4-4x^3+5x^2-2x-20

=x^4-4x^3+4x^2+x^2-2x-20

=x^2(x^2-4x+4)+x^2-2x-20

=x^2(x-2)^2 + x^2-2x+1-21

=x^2(x-2)^2+(x-1)^2-21=0

<=>x^2(x-2)^2+(x-1)^2=21

từ đây bạn giải ra cx này phải đề là tìm nghiệm nguyên nhé :D

shitbo không biết làm thì thôi ...

\(x^4-4x^3+5x^2-2x-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)^2+x^2-2x-20=0\)

Đặt \(x^2-2x=a\left(a\ge-1\right)\)

\(\Rightarrow pt:a^2+a-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)\left(a+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=4\left(Do\text{ }a\ge-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=\sqrt{5}\\x-1=-\sqrt{5}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{5}+1\\x=-\sqrt{5}+1\end{cases}}\)

\(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+8\right)\left(x+12\right)-3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+2\right)\left(x+12\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+8\right)\right]-3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+14x+24\right)\left(x^2+11x+24\right)-3x^2=0\)

Đặt \(x^2+11x+24=a\)

\(\Rightarrow pt:a\left(a+3x\right)-3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+3ax-3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow4a^2+12ax-12x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3x\right)^2=21x^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2a+3x=x\sqrt{21}\\2a+3x=-x\sqrt{21}\end{cases}}\)

*Với \(2a+3x=x\sqrt{21}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+22x+48+3x-x\sqrt{21}=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+x\left(25-\sqrt{21}\right)+48=0\)

Có \(\Delta=262-50\sqrt{21}>0\)

Nên pt có nghiệm \(x=\frac{\sqrt{21}-25\pm\sqrt{262-50\sqrt{21}}}{4}\)

Trường hợp còn lại làm tương tự