giải

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2bd=c\left(b+d\right)\\a+c=2b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)=c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a+c-c}{b+d-d}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right)\) 

Chúc bạn hoc tốt !!!

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)

\(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2bk+13b}{3bk-7b}=\frac{b\left(2k+13\right)}{b\left(3k-7\right)}=\frac{2k+13}{3k-7}\left(1\right)\)

\(\frac{2c+13d}{3c-7d}=\frac{2dk+13d}{3dk-7d}=\frac{d\left(2k+13\right)}{d\left(3k-7\right)}=\frac{2k+13}{3k-7}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt !!!

Từ \(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3c-7d}\)\(\Rightarrow\frac{2a+13b}{2c+13d}=\frac{3a-7b}{3c-7d}=\frac{2a}{2c}=\frac{13b}{13d}=\frac{3a}{3c}=\frac{7b}{7d}=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Ta có : \(\Delta AHC\) có \(\widehat{H}=90^o\) nên \(\widehat{ACH}+\widehat{A_3}=90^o\) (1)

Ta lại có : 

\(\widehat{BAH}+\widehat{A_3}=\widehat{BAC}=90^o\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACH}=\widehat{BAH}\)

Ta có : 

\(\widehat{C_1}=\frac{1}{2}\widehat{ACH}\)nên \(\widehat{C}_1=\widehat{A_1}\)

Do đó \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{C}_1=\widehat{A}_2+\widehat{A}_3+\widehat{A}_1=90^o\)

Tam giác AKC có : \(\widehat{A}_2+\widehat{A_3}+\widehat{C}_1=90^o\) . Vậy \(AK\perp CK\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(B=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+\frac{24}{25}+........+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+.......+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+1-\frac{1}{16}+.......+1-\frac{1}{n^2}\)

\(=\left(1+1+1+......+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+..........+\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.......+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì \(2^2=2.2>1.2\)\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\); \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\); .......... ; \(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.......+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.......+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}< 1\)

mà \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}>0\)( vì các số hạng luôn > 0 )

\(\Rightarrow0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+........+\frac{1}{n^2}< 1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}\)không là số nguyên (1)

mà \(n\inℤ\)\(\Rightarrow n-1\inℤ\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)B không là số nguyên (đpcm)

Câu hỏi của Nhàn Lê - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath . Tham khảo nhé

sorry mọi người ko cần vẽ hình đâu

a. Xét ΔACE và ΔDCB có:

AC=DC 

CE=CB

góc ACE=góc DCB (=60+gócDCE)

Suy ra :   ΔACE và ΔDCB (c.g.c)

=> góc AEC=góc DBC 

=> AE=DB

mà M,N lần lượt là trung điểm AE=DB

=> EM=BN

Xét ΔCME và ΔCNB có: 

CE=CB

EM=BN

góc CEM=góc CBN

Suy ra :  ΔCME = ΔCNB (c.g.c)

=>  CM=CN ( 2 cạnh tương ứng ) 

=> tam giác CMN cân ở C

-> góc MCE=góc NCB

mà góc ECN+góc NCB=góc ECB=60⁰

=> góc MCE+góc ECN=60⁰

<=> góc MCN=60⁰

mà tam giác MCN cân ở C

=> tam giác MNC đều (đpcm)