\(8x^4+6x+9=\left(3x^4-6x^2+3\right)+\left(3x^2+6x+3\right)+3+5x^4+3x^2\)

\(=3\left(x^2-1\right)^2+3\left(x+1\right)^2+3+5x^4+3x^2>0\)

Vậy PT vô nghiệm

a) Đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C nằm trên cung AB => ^ACB=90⁰ hay ^PCB=90⁰

Xét tứ giác BCPI: ^PCB=90⁰; ^PIB=90⁰ => Tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn (Tâm là trung điểm BP)

b) Xét \(\Delta\)AMB: AC\(\perp\)BM; MI\(\perp\)AB; AC cắt MI tại P => P là trực tâm của \(\Delta\)AMB

Dễ thấy: BK\(\perp\)AM => B;P;K là 3 điểm thẳng hàng (đpcm).

 c) Nhận xét: Khi BC=R thì BC=OC=OB=OA => \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều có ^CBA=60⁰

=> ^ACO=30⁰. Do AQ là tiếp tuyến của (O) nên ^ACO+^QCA=90⁰ => ^QCA = 60⁰ (1)

Theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau => QA=QC (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta\)AQC là tam giác đều => AQ=AC

Dễ có: AC=\(\sqrt{3}R\)=> AQ=\(\sqrt{3}R\)

Xét \(\Delta\)MIB: ^MBI=60⁰; ^MIB=90⁰ => \(\Delta\)MIB là tam giác nửa đều => BI= BM/2

Để ý thấy I là trung điểm OA => BI=3/2R => BM = 2.3/2R = 3R

Dựa vào ĐL Pytagore, ta tính được: \(MI^2=9R^2-\frac{9}{4}R^2=R^2.\left(\frac{36-9}{4}\right)=\frac{R^2.27}{4}\)

\(\Rightarrow MI=\frac{\sqrt{27}.R}{2}\)

\(\Rightarrow S_{QAIM}=\frac{\left(\sqrt{3}R+\frac{\sqrt{27}R}{2}\right).\frac{R}{2}}{2}=\frac{R.\left(\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right).\frac{R}{2}}{2}\)\(=\frac{R^2.\frac{5\sqrt{3}}{4}}{2}=\frac{5\sqrt{3}.R^2}{8}\)

Vậy \(S_{QAIM}=\frac{5\sqrt{3}.R^2}{8}\).

chung minh amci noi tiep

b) \(\widehat{BCE}=\widehat{ACF}\leftarrow\orbr{\begin{cases}\widehat{BCE}=\widehat{BDA}\left(ABCDnt\right)\\\widehat{ACF}=\widehat{BDA}\left(ECDFnt\right)\end{cases}}\)

Số bước chân đi được trong 15 phút là 

80 * 15 = 1200 ( bước chân ) 

Khoảng cách của 1 bước chân là 

360 : 1200 = 0,3 ( m ) 

Số bước chân đi đến nhà là 

1200 : 360 * 480 = 1600 ( bước chân ) 

Cảm ơn nhiều 

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz: \(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{c+a+b+c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Chứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}\right)\\\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo vế: \(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ac+bc}{a+b}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

a) Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình:

   \(x^2=ax+3\)

Phương trình trên tương đương với 

    \(x^2-ax-3=0\)   (*)

Phương trình bậc hai có \(\Delta=a^2+12>0\) với mọi a nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt => (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi \(x_1,x_2\) là hoành độ của hai giao điểm => \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của (*). Theo định lý Viet ta có:

   \(\hept{\begin{cases}x_1x_2=-3\\x_1+x_2=-a\end{cases}}\)

Khi đó tung độ hai giao điểm tương ứng là   \(y_1=a.x_1+3\) và \(y_2=a.x_2+3\).

Ta có: 

  \(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)=x_1x_2\left[ax_1+3+ax_2+3\right]=x_1x_2\left[a\left(x_1+x_2\right)+6\right]\)

 \(=\left(-3\right)\left[a\left(a\right)+6\right]=-3\left(a^2+6\right)\).

Vậy ta phải có:

    \(-3\left(a^2+6\right)=2a-19\)

   \(\Leftrightarrow3a^2+2a-1=0\)

  \(a=-1;a=\frac{1}{3}\)