Đề sai: Thế \(a=b=0,1\) là thấy

Câu này ở trong đề chuyên toán trường phổ thông năng khiếu ở HCM năm nay này.

Theo vi et thì

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(x_1x_2+1\right)\\m=x_1x_2+2\end{cases}}\)

(d1) đi qua A => thay x = 2 , y = 0 vào hàm số ta có : 0 = 4m + 4n => 4(m+n) = 0 <=> m - n = 0

d1//d2 => a=a' và b khác b' hay 2m = 4 và 4n khác 3 <=> m = 2 => n = -2(t/m đk)

=> m = 2 và n = -2

a) Xét tứ giác: ABHE: ^BEA=^AHB (=90⁰) => Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Do ^EHC là góc ngoài tại đỉnh H của tứ giác ABHE nên ^EHC=^BAE hay ^EHC=^BAA'

Dễ thấy: ^BAA'=^BCA' => ^EHC=^BCA'.

Mà 2 góc trên nằm ở vị trí so le trg nên HE // CA' (1)

Xét đường tròn (O) đường kính AA' có điểm C nằm trên cung AA'

=> CA' vuông góc với AC (2)

Từ (1) và (2) => HE vuông góc AC (Quan hệ song song, vg góc) (đpcm).

b) Ta có: Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn và có ^HEF là góc ngoài tại đỉnh E

=> ^HEF=^ABH hay ^HEF=^ABC.

Lập luận tương tự câu a, ta cũng có tứ giác AHFC nội tiếp đường tròn đường kính AC.

=> ^HFA=^HCA hay ^HFE=^BCA.

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)HEF: ^HEF=^ABC; ^HFE=^BCA => \(\Delta\)HEF ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).

c) Ta gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF.

Lấy giao điểm giữa (S) với 2 đoạn BE và BC lần lượt là K và G.

Do tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn nên ^HBE=^HAE hay ^HBK=^HAF

Ta thấy tứ giác HKEF nội tiếp (S)

=> ^HFE=^BKH (Do ^BKH là góc ngoài đỉnh K) => ^BKH=^AFH.

Xét \(\Delta\)BHK và \(\Delta\)AHF: ^HBK=^HAF; ^BKH=^AFH => \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)AHF (g.g)

=> \(\frac{BH}{AH}=\frac{HK}{HF}\)(*)

Ngoài ra: ^BHK=^AHF => 90⁰ + ^AHK = ^AHK + ^KHF => ^KHF=90⁰

Lại có: ^BKH=^AFH. Mà ^AFH = ^ACH (Do tứ giác AHFC nội tiếp đg tròn)

=> ^BKH=^ACH (3)

Xét \(\Delta\)AHC vuông tại H: HE vuông góc AC => ^ACH=^AHE (Phụ ^HAC) (4)

Từ (3) và (4) => ^BKH=^AHE. Mà tứ giác ABHE nội tiếp đg tròn => ^AHE=^ABE

=> ^BKH=^ABE. Hai góc này so le trg nên HK // AB => ^AHK=^BAH.

Mà ^AHK=^GHF (Cùng phụ ^KHG) và ^GHF=^GEF (Chắn cung GF)

=> ^BAH=^GEF. Mặt khác ^BAH=^BEH (Cùng chắn cung BH) => ^GEF=^BEH.

Lại thấy: ^BEH+^HEF=90⁰ = >^GEF+^HEF=90⁰ => ^HEG=90⁰

Xét tứ giác HEGF nội tiếp (S) có ^HEG=90⁰ => ^HFG=90⁰

Xét tứ giác KHFG nội tiếp (S) có ^HFG=90⁰ => ^HKG=90⁰. Mà ^KHF=90⁰ (cmt)

=> ^HFG=^HKG=^KHF=90⁰ => Tứ giác HKFG là hình chữ nhật. => HK=GF  (**)

Xét \(\Delta\)CGF và \(\Delta\)AHF: ^GCF=^HAF (Cung chắn cung HF); ^HFA=^GFC (Cùng phụ ^AFG)

=> \(\Delta\)CGF ~ \(\Delta\)AHF => \(\frac{CG}{AH}=\frac{GF}{HF}\)(***)

Từ (*); (**) và (***) => \(\frac{BH}{AH}=\frac{CG}{AH}\Rightarrow BH=CG\).

Ta thấy: Đường tròn (S): ^HKG =90⁰ và 3 điểm H;K;G nằm trên (S)

HG là đường kính của (S) => H;S;G là 3 điểm thẳng hàng. 

Vì H và G đều nằm trên BC => B;H;S và H;G;C thẳng hàng

Có: BH=CG (cmt); SH=SG (Bán kính của (S)) => BH+HS=CG+SG

=> BS=CS. Mạt khác 3 điểm B;C;S thẳng hàng => S là trung điểm BC.

Mà BC là dây cung cố định của (O) nên S cố định.

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF là 1 điểm cố định (đpcm). 

https://diendantoanhoc.net/topic/82335-cho-abc-la-d%E1%BB%99-dai-3-c%E1%BA%A1nh-c%E1%BB%A7a-tam-giac-co-chu-vi-b%E1%BA%B1ng-2-cmr-frac5227leq-a2b2c22abc-2/

Bố mày chịu 

Làm vu vơ thoi nhé -_- 

Ta có : 

\(M\le2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{x}-3}\le2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}-3\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}\ge\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}\right)^2\ge\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\ge\frac{49}{4}\)

Vậy \(x\ge\frac{49}{4}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có : \(m;n\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(\RightarrowƯCLN(m;n)=1\)

Mà \(m^2⋮n\)

      \(n^2⋮m\)

Và có : \(m;n\)là hai số lẻ nguyên dương

\(\Rightarrow m=m=1\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2=4\)

\(\Rightarrow4m.n=4\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\left(1\right)\)

Vì m, n lẻ 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\)

Để \(P\) là số nguyên thì \(\frac{1}{\sqrt{x}-3}\) nguyên \(\Rightarrow\)\(1⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{x}-3\right)\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{x}-3\right)\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-3=1\\\sqrt{x}-3=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=4\\\sqrt{x}=2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=4^2\\x=2^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=16\\x=4\end{cases}}}\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nguyên khi \(x=4\) hoặc \(x=16\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Để P có giá trị nguyên thì 1 \(⋮\)\(\sqrt{x}\)- 3

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}\)- 3 \(\in\)Ư (1)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}\)- 3 \(\in\){ -1;1}

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}\)\(\in\){2;4}

\(\Leftrightarrow\)X \(\in\){4;16}

Vậy X \(\in\){4;16} thì P có giá trị nguyên