a/

\(sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAD-sđcungBE\right)\) (góc có đỉnh ngoài hình tròn)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđcungAD-\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (1)

Ta có

\(sđ\widehat{AOD}=sđcungAD\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđcungAD=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}\) (2)

Ta có

BC = OB = R => tg BOC cân tại B \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{BOE}\) (góc ở đáy tg cân)

\(sđ\widehat{BOE}=sđcungBE\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{BOE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}-\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow2.sđ\widehat{ACO}=sđ\widehat{AOD}-sđ\widehat{ACO}\)

\(\Rightarrow sđ\widehat{AOD}=3.sđ\widehat{ACO}\)

b/

Ta có

AB = R = OA = OB => tg OAB là tg đều

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}=180^o-\widehat{OBA}=180^o-60^o=120^o\)

Xét tg cân BOC có

\(\widehat{BCO}+\widehat{BOC}=180^o-\widehat{OBC}=180^o-120^o=60^o\)

Mà \(\widehat{BCO}=\widehat{BOC}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{BOC}=30^o\)

Xét tg AOC có

\(\widehat{AOC}=180^o-\left(\widehat{OAB}+\widehat{BOC}\right)=180^o-\left(60^o+30^o\right)=90^o\)

=> tg AOC vuông tại O

AC = AB + BC = 2R

\(\Rightarrow CO=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE=AB .

Xét $\Delta ABC$và $\Delta AEC$có :

$AB=AE$(GT)

${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$(vì AC là tia phân giác góc BAD )

$AC:$Cạnh chung

Do đó : tam giác ABC = tam giác AEC (c-g-c)

$\Rightarrow BC=CE$( cặp cạnh tương ứng ) (1)

     ${\hat{B}}_1={\hat{E}}_1$( cặp góc tương ứng )

Vì tứ giác ABCD có :

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{C}={360}^o$( tính chất tứ giác lồi )

Mà $\hat{A}+\hat{C}={180}^o$( GT)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{D}={180}^o$

Mà ${\hat{B}}_1={\hat{E}}_1$

${\hat{E}}_2+{\hat{E}}_1={180}^o$

$\Rightarrow {\hat{E}}_2=\hat{D}$

$\Rightarrow \Delta CDE$cân tại C .

$\Rightarrow DC=CE$(2)

Từ (1) và (2)

$\text{hept}\{\begin{array}{c}BC=CE\\ DC=CE\end{array}$

$\Rightarrow DC=BC\left(dpcm\right)$