Ta co:

\(\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\text{ }\frac{\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]^3}{27}\)

\(\frac{\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]^3}{27}=\frac{\left(a+b+c\right)^6}{27}=\frac{3^6}{27}=27\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

Sửa đề: chứng minh:\(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{12c^2+11ca+2a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{12a^2+11ca+2b^2}}\ge\frac{3}{5}\)

Ta có: \(12b^2+11bc+2c^2=\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2-\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2\le\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2\)

Do đó: \(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}\ge\frac{2a^2}{7b+3c}\).Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế thu được:

\(VT\ge\frac{2a^2}{7b+3c}+\frac{2b^2}{7c+3a}+\frac{2c^2}{7a+3b}\)

\(=2\left(\frac{a^2}{7b+3c}+\frac{b^2}{7c+3a}+\frac{c^2}{7a+3b}\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{5}\)(áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

P/s: Is that true? Thấy đề nó là lạ nên sửa thôi chứ ko chắc rằng mình sửa đúng..

@Cool Kid: Cách của mình"

Đầu tiên ta xét hiệu: \(12b^2+11bc+2c^2-x\left(b-c\right)^2\). Ta chọn x để biểu thức sau khi phân tích có dạng một số chính phương.

\(=\left(12-x\right)b^2+\left(11+2x\right)bc+\left(2-x\right)c^2\)

\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+\left(2-x\right)c^2-\frac{\left(11+2x\right)^2c^2}{4\left(12-x\right)}\)

\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+c^2\left[\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}\right]\)

Đến đây thì ý tưởng đã rõ, ta chọn x sao cho 12 - x > 0 và:

\(\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}=0\). Bấm máy tính ta suy ra \(x=-\frac{1}{4}\)

Từ đó có thể dễ dàng suy ra cách phân tích bên trên

Quên mất, ghế này chỉ đủ cho 1 người ngồi thôi nha! 2 ng còn lại ko ai ngồi lên đùi 2 ng đang ngồi ghế đâu! 😁😁😁

TL :

Có đủ !!!

Vì đó là cái ghế dài , kiểu ghế sofa

Dễ lắm luôn ý !

HK tốt

\(A=x.10x+x.7-5x.2x-5x.3+1.2x+1.3+13x\)

\(=10x^2+7x-10x^2-15x+2x+3+13x\)

\(=\left(10x^2-10x^2\right)+\left(7x-15x+2x+13x\right)+3\)

\(=0x^2+7x+3=7x+3\)

Ta co:

\(\left(1+a^2\right)^2\le\left(1+a\right)\left(1+a\right)=\left(1+a\right)^2\)

\(\Rightarrow1+a^2\le1+a\)

The same:

\(1+b^2\le1+b\)

\(1+c^2\le1+c\)

\(\Rightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\le\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\le\frac{\left(3+a+b+c\right)^3}{27}=\frac{6^3}{27}=8\)

Ta lai co:

\(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{27}{27}=1\)

\(abc\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\le8\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

Ta co:

\(abc\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)

\(=\frac{2a\left(1+a^2\right)2b\left(1+b^2\right)2c\left(1+c^2\right)}{8}\le\frac{\frac{\left[\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\right]^2}{64}}{8}\le\frac{\frac{\left(a+b+c+3\right)^{12}}{27^4}}{512}=\frac{\frac{6^{12}}{27^4}}{512}=8\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

\(VT=x^3y^3\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{8}.2xy.2xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)\)

\(\le\frac{1}{8}\left[\frac{\left(4xy+2xy+x^2+y^2\right)^4}{256}\right]\)(áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số)

\(=\frac{1}{8}.\frac{\left[4xy+\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}\le\frac{1}{8}.\frac{\left[2\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

Ta có đpcm/

Cách em làm đúng:)

Tuy nhiên nếu em học đường trung trực thì bài này có thể làm:

Ta có: A đối xứng với C qua đường thẳng d 

=> d là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do \(D\in d\Rightarrow DA=DC\)

Do \(E\in d\Rightarrow EA=EC\)

=> \(AD+DB=CD+BD=BC< BE+CE=BE+AE\)

=> Điều phải chứng minh.

Ngắn hơn đúng không :)

Nguyễn Linh Chi à đúng rồi! THầy em bảo dùng t/c đối xứng để làm:))

bác gái

bạn ơi, tên là "gì" bạn nhé ;)))