Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR :  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))

...Cauchy-Schwarz: 

\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)

Giải tiếp t cái dấu = :v

GOI CR : a

       CD : b

\(\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)\left(b+5\right)=ab\\\left(a+2\right)\left(b-3\right)=ab\end{cases}}\)

cảm tạ ạ

c$\mathrm{\Delta C}DA\alpha \Delta CBD\Rightarrow \frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CD}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{C{D}^2}{B{C}^2}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $\frac{AH}{BH}=\frac{H{D}^2}{H{B}^2}$

Cần chứng minh: $\frac{C{D}^2}{B{C}^2}=\frac{H{D}^2}{H{B}^2}\iff \frac{CD}{BC}=\frac{HD}{HB}$

Mà $\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}$. Cần cm: $\frac{AD}{BD}=\frac{HD}{HB}$

Mà $\Delta ADB\alpha \Delta HDB$(g.g) nên ta có đpcm

Qua điểm nằm ngoài đường tròn $(O)$, vẽ tiếp tuyến $CD$ với đường tròn $(O)$ ( $D$ là tiếp điểm). Đường thẳng $CO$ cắt đường tròn tại hai điểm $A&# - Hình học - Diễn đàn Toán học

AI GIẢI CHI TIẾT DÙM MK CÁI

vì Đường tròn (O;R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt là F và E => góc HEA = góc HFA = 90o
mà hai góc này là hai góc đối nhau=> tứ giác AFHE nội tiếp