ta có\(MI=\frac{1}{2}DE=\frac{a.m}{a+2m}\)ko đổi

=> I luôn cách M một đoạn ko đổi nên tập hợp các điểm I là đường tròn tâm M , bán kính \(MI=\frac{a.m}{a+2m}\)( trừ giao điểm của nó zới BC)

\(5x\left(x-3\right)\left(x-1\right)-4x\left(x^2-2x\right)\)

\(5x^3-5x^2-15x^2+15x-4x^3+8x^2\)

\(x^3-12x^2+15x\)

\(-4x\left(x+3\right)\left(x-4\right)-3x\left(x^2-x+1\right)\)

\(-4x^3+16x^2-12x^2+48x-3x^3+3x^2-3x\)

\(-7x^3+7x^2+45x\)

a) AM//CD. Theo định lí Ta-let, ta có: \(\frac{IM}{ID}=\frac{AI}{IC}\)( 1 )

AD//CN. Theo định lí Ta-let, ta có : \(\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IM}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{IM}{ID}=\frac{ID}{IN}\Rightarrow ID^2=IM.IN\)

b) Ta có : \(\frac{DM}{MN}=\frac{AM}{MB}\Rightarrow\frac{DM}{DM+MN}=\frac{AM}{AM+MB}\)

do đó : \(\frac{DM}{DN}=\frac{AM}{AB}\)( 3 )

Mà ID = IK ; ID² = IM.IN

\(\Rightarrow IK^2=IM.IN\)\(\Rightarrow\frac{IK}{IM}=\frac{IN}{IK}\Rightarrow\frac{IK-IM}{IM}=\frac{IN-IK}{IK}\)

Do đó : \(\frac{MK}{IM}=\frac{KN}{IK}\Rightarrow\frac{KM}{KN}=\frac{IM}{IK}=\frac{IM}{ID}=\frac{AM}{CD}=\frac{AM}{AB}\)( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra \(\frac{DM}{DN}=\frac{KM}{KN}\)

c) \(\Delta AGB~\Delta AEC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AG=AG\left(AG+GC\right)\)( 5 )

\(\Delta BGC~\Delta CFA\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AF}{GC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{AD}\)

\(\Rightarrow AF.AD=AC.GC=GC\cdot\left(AG+GC\right)\)( 6 )

Cộng ( 5 ) và ( 6 ) theo vế, ta được :

\(AB.AE+AF.AD=AG\left(GC+AG\right)+GC\left(AG+GC\right)=\left(AG+GC\right)^2=AC^2\)

a/ Xét \(\Delta IMC\)có : MC // AD nên : \(\frac{IM}{ID}=\frac{IC}{IA}\)( hệ quả định lí Ta-let )

Xét \(\Delta IDC\)có : DC // AN nên : \(\frac{ID}{IN}=\frac{IC}{IA}\)( hệ quả định lí Ta-let )

Do đó : \(\frac{IM}{ID}=\frac{ID}{IN}\left(=\frac{IC}{IA}\right)\)

Vậy : \(IM.IN=ID^2\)

b/ Ta có : \(\frac{DM}{DN}=\frac{DM}{DM+MN}\)

\(=\frac{AD}{AD+NB}=\frac{AD}{CN}\)

\(=\frac{ID}{IN}=\frac{2.ID}{2.IN}\)

\(=\frac{KD}{KD+2.NK}\)

\(\Leftrightarrow\frac{DM}{DN}=\frac{KD}{DN+NK}\)

\(=\frac{KD-DM}{DN+NK-DN}=\frac{KM}{KN}\left(đpcm\right)\)

c) Xét \(\Delta ABG\)và\(\Delta ACE\)có :

\(\widehat{AGB}=\widehat{AEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A}:chung\)

=> tam giác AGB = tam giác ACE ( cgv-gn )

\(\Rightarrow\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AE}\)

\(\Rightarrow AB.AE=AC.AG\)

CM tương tự,ta có : \(\Delta BCG\)đồng dạng với \(\Delta ACF\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{GC}=\frac{AC}{AF}\)

\(\Rightarrow AC.AF=AC.GC\)

\(\Rightarrow AD.AF=AC.AG\)( vì AD = BC )

Do đó : \(AB.AE+AD.AF=AC.AG+AC.GC\)

\(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC.\left(AG+GC\right)\)

\(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC.AC\)

Vậy AB.AE + AD.À = AC²

Ta có: \(A=\left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+2028\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+2028\)

Đặt: \(x^2+8x+12=t\) ta có: \(x^2+8x+7=t-5\) và \(x^2+8x+15=t+3\)

Ta có: \(A=\left(t+3\right)\left(t-5\right)+2028=t^2-2t+2013\)chia t dư 2013

Vậy A chia x² + 8x + 12 dư 2013

\(N=2013-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-6x+9\right)\)

\(N=2013-\left(x+y\right)^2-\left(y-3\right)^2\le2013-0-0=2013\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}y-3=0\\x+y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=-3;y=3\)

khó thế :Đ

Ta có: \(6n^2⋮6\); \(24⋮6\)(1)

Lại có:  \(n^3-19n=n^3-n-18n=n\left(n^2-1\right)-18n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3;\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\)với ( 3; 2 ) = 1

=> \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)

và \(18n⋮6\)

=> \(n^3-19n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n⋮6\)(2)

Từ (1); (2) => \(B⋮6\) 

\(\left(x^2-1+x\right)\left(x^2-1+3x\right)+x^2\)

Đặt \(a=x^2+2x-1\)

Phương trình trở thành \(\left(a-x\right)\left(a+x\right)+x^2\)

                                     \(=a^2-x^2+x^2\)

                                       \(=a^2=(x^2+2x-1)^2\)

( -3xy²z³) . (4xy³z⁴) = (-12x²y⁵z⁷⁾