=\(\sqrt{\left(2+2\sqrt{6}+3\right)+\left(2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\right)+5}\)

\(=\sqrt{\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2\right]+\left(2\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2+2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( tự c/m)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{x^2}{x+xy^2}+\frac{y^2}{y+x^2y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+x^2y+xy^2}=\frac{2^2}{2+xy\left(x+y\right)}=\frac{4}{2+2xy}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)( tự c/m)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}\ge\frac{4}{2+2xy}\ge\frac{4}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{2+2}=1\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

Một lời giải rất quen thuộc đó là dùng cô si ngược dấu:

\(x.\frac{1}{1+y^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\ge x\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự,ta cũng có: \(\frac{y}{1+x^2}\ge y-\frac{xy}{2}\)

Cộng theo vế hai BĐT trên và áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\),ta được:

\(VT\ge\left(x+y\right)-xy\ge2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=2-1=1^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Điều kiện xác định \(x,y>0\)

Hệ đã cho tương đương với

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}+\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{3}{\sqrt{y}}=0\left(1\right)\\2x-\sqrt{xy}=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-3\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\right)=0\)

           \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\frac{3}{\sqrt{xy}}\right)=0\)

            \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\\1-\frac{3}{\sqrt{xy}}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\frac{3}{\sqrt{xy}}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\\sqrt{xy}=3\end{cases}.}\)

Với x=y ta thế vào (2) có \(2x-\sqrt{x^2}=1\Leftrightarrow x=1\left(TMĐK\right)\)

                                     \(\Rightarrow x=y=1\)

Với \(\sqrt{xy}=3\)thế vào (2) có \(2x-3=1\Leftrightarrow x=2\left(TMĐK\right)\)

                                      \(\Rightarrow\sqrt{2y}=3\Leftrightarrow y=\frac{9}{2}\left(TMĐK\right)\)

Vậy hệ có 2 nghiệm.......

easy.

x^2+y^2>= (x+y)^2/2 <=> x^2+y^2>=18

(x+y)^2>=4xy <=> xy<=9 

=> 33/xy>=33/9 

CỘNG THEO VẾ suy ra P>= 65/3 . Dấu bằng khi X=Y=3

\(P=x^2+y^2+\frac{33}{xy}=\left(x+y\right)^2-2xy+\frac{33}{xy}\) 

\(\ge36-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{33}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=36-\frac{36}{2}+\frac{33}{9}=\frac{65}{3}\)

Vậy min P = 65/3 khi x = y  =3