Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)

Tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)

chứng minh kiểu j vậy bạn ? , Chỉ mình rõ hơn được không ? 

\(a,\)\(đkxđ\Leftrightarrow x\ge0\)và \(x-9\ne0\Rightarrow x\ne9\)

\(A=\frac{6\sqrt{x}}{x-9}-\frac{5\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

\(\)\(=\frac{6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{5\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{6\sqrt{x}+5x+15\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{18\sqrt{x}+6x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{6\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

\(b,\)Để \(A>2\)\(\Rightarrow\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}>2\)

\(\Rightarrow\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}>\frac{12\sqrt{x}}{x-3}\)

\(\Rightarrow\frac{6\sqrt{x}-12\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}>0\)

\(\Rightarrow\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}< 0\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0;\)\(6>0\)\(\Rightarrow6\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}>0\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}< 3\Rightarrow\sqrt{x}< \sqrt{9}\)\(\Leftrightarrow x< 9\)

Mà \(x\ge0\left(đkxđ\right)\)\(\Rightarrow0\le x< 9\)

Dấu ^ là nhân hay là mũ vậy bạ?

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2

ĐK  \(x\ge0\)

Đặt \(x=a,x+1=b\)

\(PT\Leftrightarrow a^4+b^4=\left(a+b\right)^4\)

<=> 4a³b+6a²b²+4ab³=0

<=> ab(2a²+3ab+2b²)=0

=>ab=0 (vì 2a²+3ab+2b²>0)

=>\(\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy.............................

\(\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}=|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\)

Tương tự  \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\);   \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow BTT=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=\sqrt{2}\)

\(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-1-2+\sqrt{3}\)

\(=2\sqrt{3}+\sqrt{2}-4\)

b) Thanks anh Incursion_03 đã giúp em có ý tưởng từ những bài trước:)

ĐKXĐ: x > -1

Đặt \(\sqrt{1+x}=a\Rightarrow1+x=a^2\Leftrightarrow1=a^2-x\)

Khi đó,kết hợp với đề bài ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x^2+a=1\\a^2-x=1\end{cases}}\)

Lấy phương trình đầu trừ phương trình dưới ta được: \(\left(x-a\right)\left(x+a\right)+\left(a+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+a\right)\left(x-a+1\right)=0\)

c) ĐK:...    và em không chắc đâu nhé!

Thêm x² vào hai vế: \(x\left(x+3\right)+\left(x^2+1\right)=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}+x^2\)

Đặt \(x+3=a;\sqrt{x^2+1}=b\). PT trở thành:

\(ax+b^2=ab+x^2\Leftrightarrow a\left(x-b\right)-\left(x-b\right)\left(b+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-b\right)\left(a-b-x\right)=0\)

...

\(C=-x^2+5x-\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2\)

\(C=\left[-x^2+5x-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+\left(\frac{5}{2}\right)^2\)

\(C=-\left[x^2-2.x.\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+\frac{25}{4}\)

\(C=-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow C=-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\le\frac{25}{4}\)

Vậy \(GTNN_C=\frac{25}{4}\)tại \(x=\frac{5}{2}\)

\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng (với x >= 0)

\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow x>0\) vì x ở mẫu thức nên dấu =  không xảy ra nha bạn, lúc này mình ko để ý 

còn câu tiếp theo đề ntn mới đúng, cm tương tự câu trước \(\frac{x^2+2x+1}{x}\ge4\text{ với }x>0\)