Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)

Hay : \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)

Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\ge0\\\left(b-1\right)^2\ge0\\\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\a^2+b^2\ge2ab\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(a^2+b^2\right)\ge2.\left(a+b+ab\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Ta có :

\(3^{15}+3^{16}+3^{17}\)

\(=3^{15}\cdot\left(1+3+3^2\right)=3^{15}\cdot13⋮13\)

\(\rightarrow3^{15}+3^{16}+3^{17}⋮13\left(đpcm\right)\)

Ta có : \(3^{15}+3^{16}+3^{17}\)

\(=3^{15}\cdot\left(1+3+3^2\right)=3^{15}\cdot13⋮13\)

\(\Rightarrow3^{15}+3^{16}+3^{17}⋮13\)(đpcm)

Đặt \(f\left(x\right)=3x^2-2x+1\)

Ta thấy : \(f\left(x\right)=3x^2-2x+1\)

\(=3.\left(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\)\(=3.\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\right)\)

\(=3.\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}>0\)

Do đó \(f\left(x\right)\) không có nghiệm.

Ta có : \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.3=4-12< 0\)

Vậy PT vô nghiệm 

                     Bài làm :

Ta có hình vẽ :

Xét 2 tam giác : Tam giác ADB và tam giác BCA có :

\(\hept{\begin{cases}AB-\text{Cạnh chung}\\\widehat{DAB}=\widehat{CBA}\left(\text{Tính chất của hình thang cân}\right)\\AC=BD\left(\text{Tính chất của hình thang cân}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta BCA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{DBA}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

=> Tam giác OAB cân

=> OA = OB

=> Điều phải chứng minh

Câu đặc biệt :

\(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)

\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x-16=-16\)

\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(9x^3+36x^2+29x-14\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left[\left(9x^3+18x^2-7x\right)+\left(18x^2+36x-14\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left[x\left(9x^2+18x-7\right)+2\left(9x^2+18x-7\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(9x^2+18x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[\left(9x^2+21x\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[3x\left(3x+7\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(3x-1\right)\left(3x+7\right)=0\)

<=> x = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc 3x - 1 = 0 hoặc 3x + 7 = 0

<=> x = 0 hoặc x = - 2 hoặc x = 1/3 hoặc x = 7/3

Vậy phương trình có tập nghiệm là : \(S=\left\{0;\frac{1}{3};\frac{7}{3};-2\right\}\)

Câu 2:

a) Ta có: \(2x^2+3x+1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+1}{3}>\frac{0}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}x^2+x+\frac{1}{3}>0\)

=> đpcm

b) Ta có: \(4x-1< 0\)

\(\Leftrightarrow0-\left(4x-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow1-4x>0\)

=> đpcm

c) Ta có: \(\frac{3x-2}{4}+2\frac{1}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x-2}{4}+\frac{10}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x+8}{4}>0\)

\(\Rightarrow3x+8>0\)

=> đpcm

\(ĐKXĐ:x\ge0\)

\(\frac{3}{x-4\sqrt{x}+7}=\frac{3}{x-4\sqrt{x}+4+3}=\frac{3}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3\ge7\)\(\Rightarrow\frac{3}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+3}\ge\frac{3}{7}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(minA=\frac{3}{7}\)\(\Leftrightarrow x=0\)

\(A=\frac{3}{x-4\sqrt{x}+7}\)( ĐKXĐ : x ≥ 0 )

Để A đạt GTLN => x - 4√x + 7 đạt GTNN

Ta có : x - 4√x + 7 = [ ( √x )² - 2.2.√x + 4 ] + 3

                              = ( √x - 2 )² + 3 ≥ 3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> √x - 2 = 0

                             <=> √x = 2

                             <=> x = 4 ( bình phương hai vế ) ( tmđk )

=> MaxA = 1 <=> x = 4

Không dám chắc ạ :(

Ta có x³ - 4x² + 4x = 0

=> \(x^3-2x^2-2x^2+4x=0\)

=> x²(x - 2) - 2x(x - 2) = 0

=> (x² - 2x)(x - 2) = 0

=> x(x - 2)(x - 2) = 0

=> x(x - 2)² = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-2=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{0;2\right\}\)

Bài làm:

Ta có: \(x^3-4x^2+4x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\\left(x-2\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)