Bạn nên ghi đầy đủ điều kiện về x,y cũng như yêu cầu đề bài để mọi người hiểu đề và hỗ trợ tốt hơn.

Tổng số tiền còn lại của hai bạn:

196000 - (60000 + 55000) = 81000 (đồng)

Tổng số phần bằng nhau:

2 + 1 = 3

Số tiền bạn An còn lại:

81000 : 3 . 1 = 27000 (đồng)

Số tiền bạn Tâm còn lại:

27000 . 2 = 54000 (đồng)

Số tiền ban đầu của An:

27000 + 55000 = 82000 (đồng)

Số tiền ban đầu của bạn Tâm:

54000 + 60000 = 114000 (đồng)

\(a^3+6a^2+8=a\left(a^2+6a+9-1\right)=\)

\(=a\left[\left(a+3\right)^2-1\right]=a\left(a+3-1\right)\left(a+3+1\right)=\)

\(=a\left(a+2\right)\left(a+4\right)\)

Đây là tích của 3 số chẵn liên tiếp đặt \(a=2k\)

\(\Rightarrow a\left(a+2\right)\left(a+4\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=A\)

Ta thấy

\(k\left(k+1\right)\) chẵn đặt \(k\left(k+1\right)=2p\)

\(\Rightarrow A=16p\left(k+2\right)⋮16\) (1)

Ta thấy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3\) (2) (Tích của 3 số TN liên tiếp)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow A⋮16x3\Rightarrow A⋮48\) vì \(\left(16,3\right)=1\)

n=0

\(\dfrac{n^2-n-1}{n-1}=\dfrac{n\left(n-1\right)-1}{n-1}=n-\dfrac{1}{n-1}\)

Để thỏa mãn đk đề bài

\(\Rightarrow1⋮\left(n-1\right)\Rightarrow\left(n-1\right)=\left\{-1;1\right\}\Rightarrow n=\left\{0;2\right\}\)

1) \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}\)

             \(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\)

             \(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\)

             \(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) (đpcm)

2) \(AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2}\)

               \(=\dfrac{20+4-16}{2}=4\)

3) Gọi O là tâm hình chữ nhật

\(\Rightarrow2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2\)

\(=2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)

\(=6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2+2\overrightarrow{PO}\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)

\(=\)\(6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2\)

\(=6PO^2+6OA^2\left[OB=OD=OA=OC\right]\)

\(=6PO^2+6\left(\sqrt{5}\right)^2\)

\(=6PO^2+30\ge30\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow O\equiv P\) 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}\le\dfrac{1}{30}\)

\(Max\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow P\equiv O\)

1) \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-4}\left(Đk:x\ge\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-1=x^2+4x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(TM\right)\\x=-3\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)

2) \(\sqrt{x^2-4x+3}=x-3\left(Đk:x\ge3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=x^2-4x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9=x^2-4x+3\)

\(\Leftrightarrow2x=6\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(S=\left\{3\right\}\)

Để phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)x+4m+8=0\) có nghiệm

\(\Rightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2-4\left(4m+8\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-16m-32\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m-28\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-7\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-7\right)\ge0\)

\(\Rightarrow m\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)\)