\(VT=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^k_{n+1}}+\frac{1}{C^{k+1}_{n+1}}\right)=\frac{n+1}{n+2}.\frac{k!\left(n+1-k\right)!+\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}{\left(n+1\right)!}\)

\(=\frac{1}{n+2}.\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}\left[\left(n+1-k\right)+\left(k+1\right)\right]=\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}=\frac{1}{C^k_n}=VP\left(đpcm\right)\)

Đề này chưa logic rồi bạn ơi. 

1 + 2x + 3x^2 +.... + (n +1) x^n chứ ạ???

Nếu đề là: \(\left(1+2x+3x^2+...+\left(n+1\right)x^n\right)^{10}=a_0+a_1x+...+a_{20}x^{20}\)

VT có bậc cao nhất là 10n 

VP có bậc cao nhất là 20 

=> Đồng nhất hệ số bậc cao nhất => 10n = 20 => n = 2 

=> Ta có: \(\left(1+2x+3x^2\right)^{10}=M.C_{10}^k\left(2x+3x^2\right)^k=M.C_{10}^k.N.C_k^i.\left(2x\right)^{k-i}.\left(3x^2\right)^i\)

\(=M.N.C^k_{10}.C^i_k.2^{k-i}.3^i.x^{k+i}\)

Với M là tổng xích ma từ k = 1 đến 10 và N là tổng xích ma từ i = 1 đến k chỉ là áp dụng nhị thứ Newton thôi nhé. 

=> Để có a₄ => Cần tìm hệ số của x⁴ => k + i = 4 với \(i\le k\)

Chọn i = 0 => k = 4 => \(C^4_{10}.C^0_4.2^{4-0}.3^0.x^4=3360x^4\)

Chọn i = 1 => k = 3 => \(C^3_{10}.C^1_4.2^{3-1}.3^1.x^{3+1}=5760x^4\)

Chọn i = 2 => k = 2 => \(C^2_{10}.C^2_4.2^{2-2}.3^2.x^4=2430x^4\)

=> \(a_4=3360+5760+2430\)

Ta có: \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}=M.C^k_{16}.\left(x^4-x^2\right)^k=M.C^k_{16}.N.C^i_k.\left(x^4\right)^i.\left(-x^2\right)^{k-i}\)

\(=M.N.C^k_{16}.C^i_k.\left(-1\right)^{k-i}.x^{2i+2k}\)

Hệ số của x^16 => 2i + 2k = 16 => i + k = 8 và \(i\le k\)=> Tìm i và k

\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}>0\forall x\ge-3\)