<=> (m-5)x = 10 - 4m²

TH1: m - 5 = 0 <=> m = 5

Thay m = 5, ta có :

0x = 10 - 4.5²

<=> 0x = -90 (vô lí)

Vậy với m =5, phương trình vô nghiệm

TH2: m-5 \(\ne\)0 <=> \(m\ne5\)

Phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=\frac{10-4m^2}{m-5}\)

a) \(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+4\right)-12=0\)

Đặt \(x^2+x=t\),ta có :

\(t\left(t+4\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+4t-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+6\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-6=0\\t-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x-6=0\\x^2+x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\\\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\in\left\{2;-3\right\}\\x\in\left\{1;-2\right\}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{2;-3;1;-2\right\}\)

Đặt \(\left(x^2+x\right)=y\)

\(=>y^2+4y-12=0=>y_1=-6,y_2=2\)

zới y=-6 thì \(x^2+x+6=0\left(zô\right)nghiệm\)

zới y=2 thì \(x^2+x-2=0\)có nghiệm là -2 zà 1

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz ta có

\(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}\ge\frac{\left(2+3\right)^2}{x+y}=25\)

Ta có \(a+b+b+b\ge4\sqrt[4]{abbb}\)(theo BĐT Cosi)

\(\Leftrightarrow a+3b\ge\sqrt[4]{ab^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+3b}{4}\ge4\sqrt[4]{ab^3}\)

Mà \(a,b,c\ge1\Rightarrow a+3b\ge4\Rightarrow\frac{a+3b}{4}\ge1\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt[4]{ab^3}\ge1+a\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}\le\frac{1}{1+a}\left(1\right)\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}=\frac{1}{1+b}\left(2\right)\\\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}=\frac{1}{1+c}\left(3\right)\end{cases}}\)

(1) (2) (3) => \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3+1}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}\)(đpcm)

\(\left|x+4\right|=2x-5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=2x-5\\x+4=-2x+5\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2x=-5-4\\x+2x=5-4\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}-x=-9\\3x=1\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=9\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}}\)

Vậy x=9; x=\(\frac{1}{3}\)

giải

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=2x-5\\x+4=-2x+5\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-2x=-5-4\\x+2x=5-4\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}-x=-9\\3x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=9\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}}\)

vậy pt có 2 nghiệm là \(9;\frac{1}{3}\)

Bổ sung thêm đk: \(-1\le x\le5\)

Giải: Dễ thấy với \(-1\le x\le5\)thì \(-x^2+3x+18\ge0;-x^2+4x+5\ge0\)

Do đó biểu thức P được xác định, mặt khác ta lại có:

\(\left(-x^2+3x+18\right)-\left(-x^2+4x+5\right)=13-x>0\Rightarrow P>0\)

Như vậy để tìm GTNN của P, ta có thể tìm GTNN của \(P^2\)rồi suy ra kết quả bài toán. Ta có:

\(P^2=-2x^2+7x+23-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)\left(x+1\right)\left(5-x\right)}\)

Chú ý rằng \(\left(x+3\right)\left(5-x\right)+\left(6-x\right)\left(x+1\right)=-2x^2+7x+21\)

ta suy ra \(P^2=\left[\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\right]^2+2\ge2\)

Do P>0 nên \(P\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(Min_P=\sqrt{2}\)đạt được khi x=3