Ta có n⁴+4=n⁴+2.n².n+4-4n²=(n²+2)²-(2n)²=(n²-2n+2)(n²+2n+2)

Vì n>1=>(n²-2n+2)>1;(n²+2n+2)>1

=>n⁴+4 có nhiều hơn 2 ước

=>n⁴+4 là hợp số

đặt \(\sqrt{x-\sqrt{x-5}}=a\left(a\ge0\right)=>x-\sqrt{x-5}=a^2\)   (1)

viết lại phương trình trên \(\sqrt{x-\sqrt{x-a}}=5< =>x-\sqrt{x-a}=25\)(2)

(1) - (2) = \(\sqrt{x-a}-\sqrt{x-5}=a^2-25\)    (3)

xét \(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}=0< =>\hept{\begin{cases}x-a=0\\x-5=0\end{cases}< =>}\)\(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{x-\sqrt{x-5}}\\x=5\end{cases}}\)(vô nghiệm)

hay \(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}\ne0\)

(3) <=> \(\frac{x-a-\left(x-5\right)}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}}=\left(a-5\right)\left(a+5\right)\)<=>\(\frac{5-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}}+\left(5-a\right)\left(5+a\right)=0\)

<=> (5-a)(\(\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}}+a+5\)) = 0 <=> 5-a = 0 ( vì với a\(\ge0\)thì \(\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-5}}+a+5>0\))

<=> a=5  <=> \(\sqrt{x-\sqrt{x-5}}=5< =>x-\sqrt{x-5}=25< =>x-25=\sqrt{x-5}\left(x\ge25\right)\)

<=> x² -50x + 625 = x - 5 <=> x²- 51x +630 = 0 <=> (x-30)(x-21) = 0 <=> x= 30 hoặc x= 21 ( loại vì điều kiện \(x\ge25\))

thay vào phương trình ta thấy x= 30 thỏa mãn nên phương trình có nghiệm duy nhất x=30

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}=x^2-22\)(ĐKXĐ:x>=căn 22)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-4}-1=x^2-25\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1-4}{\sqrt{x-1}+2}-\frac{x-4-1}{\sqrt{x-4}+1}=\left(x+5\right)\left(x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}-\frac{x-5}{\sqrt{x-4}+1}=\left(x+5\right)\left(x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}-x-5\right)=0\)

Vì \(x\ge\sqrt{22}\)nên \(\frac{1}{\sqrt{x-1}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}-x-5< 0\)

\(\Rightarrow x-5=0\Leftrightarrow x=5\)