a) Do tam giác ABC nội tiếp nên sẽ có 1 cạnh là đường kính (BC)

 Xét tam giác ABC có :\(AB^2+AC^2=\left(R\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2+\left(R\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\)

                                                               \(=2R^2-R^2\sqrt{3}+2R^2+R^2\sqrt{3}\)

                                                                \(=4R^2\)

                                                                  \(=BC^2\)

( do BC là đường kính, BC=2R)

      Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{R\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2R}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)

suy ra góc B=75 độ

suy ra góc C=90 độ -75 độ =15 độ

\(=\sqrt{\frac{\sqrt{5}\left(8\sqrt{5}-3\sqrt{35}\right)}{\left(8\sqrt{5}+3\sqrt{35}\right)\left(8\sqrt{5}-3\sqrt{35}\right)}}\)\(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\sqrt{\frac{40-15\sqrt{7}}{5}}.\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\sqrt{8-3\sqrt{7}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{8-3\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{16-3\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}}{\sqrt{2}}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{14}\right)\)

\(=\frac{\left(3-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\left(3+\sqrt{7}\right)\)

\(=9-7\)

\(=2\)

A=\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

Do A=căn 2

=> \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{2}\)

Đặt căn x=a

=> a/(a-1)=căn 2

=> \(a.\sqrt{2}-\sqrt{2}=a\)

=> \(\left(a-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=1\)

=> a=\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+1=\frac{\sqrt{2}+1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+1\)

=> a=căn 2+2

=> \(\sqrt{x}=\sqrt{2}+2\) do căn x=a 

=> \(\sqrt{x}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=2\)

=> Là số nguyên.

Hình vẽ (Vào link là ra): https://i.imgur.com/GssTwiW.png

Ở đây mình sẽ cho R là bán kính của đường tròn O; R' là bán kính của đường tròn O'

a) ta có: \(\hept{\begin{cases}OM\perp MN\\O'N\perp MN\end{cases}}\)=> OM//O'N => \(\widehat{AOM}+\widehat{AO'N}=180^o\)

Xét ΔOAM có OM = OA (= R) => ΔOAM cân => \(\widehat{A_1}=\frac{180^o-\widehat{AOM}}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔO'NA có O'N = O'A (=R') => ΔO'NA cân => \(\widehat{A_2}=\frac{180^o-\widehat{AO'N}}{2}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\frac{180^o-\widehat{AOM}}{2}+\frac{180^o-\widehat{AO'N}}{2}.\)

                                             \(=\frac{360^o-\left(\widehat{AOM}+\widehat{AO'N}\right)}{2}\)

                                            \(=\frac{360^o-180^o}{2}=90^o.\)

 \(\widehat{MAN}=180^o-\left(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\right)=180^o-90^o=90^o\)

=> ΔAMN vuông tại A

b) ta có: IM, IA là các tiếp tuyến của đường tròn (O) => IO là tia phân giác của \(\widehat{AIM}\)

              IN; IA là các tiếp tuyến của đường tròn (O') => IO' là tia phân giác của \(\widehat{AIN}\)

do IO và IO' là hai tia phân giác của hai góc kề bù => \(IO\perp IO'\Rightarrow\widehat{OIO'}=90^o\)=> ΔIOO' là tam giác vuông.

c) Áp dụng hệ thức lượng trong ΔIOO', ta có: AI² = OA . O'A = 8 x 4,5 = 36 => AI = 6(cm)

Xét ΔAMN vuông tại A, ta có: MN = 2AI = 2 x 6 = 12 (cm)

Đây là cách làm cùa mình. Nếu sai sót thì bình luận nhé!

Học tốt ^3^