Đặt \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=A\)

Ta có:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

<=> \(\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)

<=> \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{a}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

<=> \(A+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c+a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c+b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A=0\)

=> ....

x^2 + 3x + 4 = x^2 + 2.(3/2).x + 9/4 - 9/4 + 4

= (x+3/2)^2 + 7/4 >= 7/4

<=> A >= 49/16.

Dấu "=" xảy ra <=> x = -3/2

\(x^2+3x+4=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\left(x^2+3x+4\right)^2\ge\left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{48}{16}\)

Dấu '=' xảy ra khi :

\(x+\left(\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

a,

\(2^2=\left(1+1\right)^2=1^2+2.1+1\)

\(3^2=\left(2+1\right)^2=2^2+2.2+1\)

....

\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^2+3^2+...+\left(n+1\right)^2=1^2+2^2+...+n^2+2\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2=1+2S+n\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)n\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

b, Tương tự a

\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

...

\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^3+3^3+...+\left(n+1\right)^3=1^3+2^3+...+n^3+3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1+3S_1+3S+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)-3S=3S_1\)

\(3S_1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow3S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

a) A = a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)³ - 3ab(a + b)

= 2³ - 3.(-1).2 = 8 + 6 = 14

b) B = a⁴ + b⁴ = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 2a²b² = (a² - b²)² + 2a²b² 

= (a - b)²(a + b)² + 2(ab)² = (a² - 2ab + b²)(a + b)² + 2(ab)²

= (a + b)⁴ + 2(ab)² - 4ab(a + b)² = 2⁴ + 2.(-1)² - 4.(-1).2² = 16 + 2 + 16 = 34

c) Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab = (a + b)² - 2ab = 2² - 2.(-1) = 4 + 2 = 6

=> (a² + b²)(a³ + b³) =  6.14 = 84

=> a⁵ + a²b³ + a³b² + b⁵ = a⁵ + b⁵ + a²b²(a + b) = 84

=>C = 84 - (ab)²(a + b) = 84 - (-1)².2 = 82

d) D = a⁶ + b⁶ = a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + a⁶ - 3a²b²(a² + b²) = (a² + b²)³ - 3(ab)²(a² + b²) = 6³ - 3(-1)². 6 = 198

a) Ta có : a + b = 2

=> (a + b)³ = 8

=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = 8

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) = 8

=> a³ + b³ - 6 = 8

=> a³ + b³ = 14

b) Ta có a + b = 2

=> (a + b)⁴  = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4a³b + 4ab³ = 16

=> a⁴ + b⁴ + 4ab(a² + b²) = 16 (1)

Lại có a + b = 2

=> (a + b)² = 4

=> a² + b² + 2ab = 4

=> a² + b² = 6

Khi đó (1) <=> a⁴ + b⁴ - 24 = 16

=> a⁴ + b⁴ = 40

c) a + b = 2

=> (a + b)⁵ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5a⁴b + 5ab⁴ = 32

=> a⁵ + b⁵ + 5ab(a³ + b³) = 32

Vận dụng kết quả câu b

=> a⁵ + b⁵ - 70 = 32 

a⁵ + b⁵ = 102

d) a + b = 2

=> (a + b)⁶ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6a⁵b + 6ab⁵ = 64

=> a⁶ + b⁶ + 6ab(a⁴ + b⁴) = 64

Vận dụng kết quả câu c 

=> a⁶ + b⁶ - 240 = 64

=> a⁶ + b⁶ = 304

\(C=\left(a-1\right)^3-4a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+3.\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

\(=a^3-1-3a.\left(a-1\right)-4a.\left(a^2-1\right)+3.\left(a^3-1\right)\)

\(=a^3-1-3a^2+3a-4a^3+4a+3a^3-3\)

\(=-3a^2+7a-4\)

Thay \(a=-3\) vào biểu thức ta có :

\(C=-3.\left(-3\right)^2+7.\left(-3\right)-4=-52\)

Ta cần tìm số dư khi chia \(A\left(x\right)=x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(B\left(x\right)=x^2-1\)

Số dư của \(A\left(x\right)\) cho \(B\left(x\right)\) có bậc là 1. Đặt đa thức dư có dạng \(ax+b\)

Ta có : \(A\left(x\right)=B\left(x\right).H\left(x\right)+ax+b\)

Hay : \(A\left(x\right)=\left(x^2-1\right).H\left(x\right)+ax+b\)

+) Xét \(x=1\) thì : \(A\left(1\right)=a+b\)

\(\Leftrightarrow1+1+1-1-1+1=a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\) (1) 

+) Xét \(x=-1\) thì \(A\left(-1\right)=b-a\)

\(\Leftrightarrow-1-1+1-1-\left(-1\right)+1=b-a\)

\(\Leftrightarrow b-a=0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a=1,b=1\)

Vậy đa thức dư có dạng \(x+1\)

Vậy số dư của phép chia \(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(x^2-1\) là \(x+1\)

Bài làm:

a) Sửa đề:

\(A=4x-x^2=-\left(x^2-4x+4\right)+4\)

\(=-\left(x-2\right)^2+4\le4\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy \(A_{Max}=4\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=-x^2-4x+5=-\left(x^2+4x+4\right)+9\)

\(=-\left(x+2\right)^2+9\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-\left(x+2\right)^2=0\Rightarrow x=-2\)

Vậy \(B_{Max}=9\Leftrightarrow x=-2\)

c) \(C=-x^2-2y^2-2xy+2y\)

\(C=-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(C=-\left(x+y\right)^2-\left(y-1\right)^2+1\le1\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}-\left(x+y\right)^2=0\\-\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy \(C_{Max}=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

a) Sửa : A = 4x - x²

A = -x² + 4x - 4 + 4

A = -( x² - 4x + 4 ) + 4

A = -( x - 2 )² + 4

-( x - 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x - 2 ) + 4 ≤ 4

Dấu " = " xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

Vậy A_Max = 4 , đạt được khi x = 2

b) B =  -x² - 4x + 5 = -x² - 4x - 4 + 9 = -( x² + 4x + 4 ) + 9 = -( x + 2 )² + 9

-( x + 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x + 2 )² + 9 ≤ 9 

Dấu " = " xảy ra <=> x + 2 = 0 => x = -2

Vậy B_Max = 9, đạt được khi x = -2

c) C = -x² - 2y² - 2xy + 2y

= ( -x² - 2xy - y² ) + ( -y² + 2y -1 ) + 1

= -( x² + 2xy + y² ) - ( y² - 2y + 1 ) + 1

= -( x + y )² - ( y - 1 )² + 1

\(\hept{\begin{cases}-\left(x+y\right)^2\le0\\-\left(y-1\right)^2\le0\end{cases}\Rightarrow}-\left(x+y\right)^2-\left(y-1\right)^2+1\le1\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy C_Max = 1 , đạt được khi x = -1 ; y = 1